函數(shù)圖象綜合題的解決之道

函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的典范，同學們在接受函數(shù)基本概念、熟悉函數(shù)圖象和性質(zhì)后，對函數(shù)的表達式有了一定了解，但對于一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)之間的聯(lián)系，以及如何將實際問題建模為函數(shù)問題，仍是同學們不易把握的地方，這就要求同學們能熟練運用分類與討論、轉(zhuǎn)化與代歸思想解題. 由于這部分內(nèi)容知識面廣、綜合性強、思維度大，所以常常設置考題，用來考查同學們的綜合能力和數(shù)學素養(yǎng).

■ 一次函數(shù)和反比例函數(shù)

函數(shù)圖象能形象、直觀地反映兩個變量之間的對應關(guān)系，充分展示函數(shù)變量之間的變化規(guī)律. 解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想，把圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

■ （2011浙江臺州）如圖1，反比例函數(shù)y=■的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于點M，N，已知點M的坐標為（1，3），點N的縱坐標為-1，根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程■=kx+b的解為（ ）

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A. -3，1 B. -3，3

C. -1，1 D. 3，-1

■ 把M（1，3）的坐標代入y=■，求得m=3，所以y=■. 再把y＝－1代入y=■，求得x＝-3，故關(guān)于x的方程的解為x＝-3或x=1.

■ A.

■ （2011廣西來賓）已知反比例函數(shù)y■=■的圖象與一次函數(shù)y■=ax+b的圖象交于點A（1，4）和B（m，-2），如圖2.

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（1）求這兩個函數(shù)的關(guān)系式.

（2）觀察圖象，寫出使得y1＞y2成立的自變量x的取值范圍.

（3）如果點C與點A關(guān)于x軸對稱，求△ABC的面積.

■ 一次函數(shù)和二次函數(shù)

此類問題主要考查兩個函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可以用排異法，或在同一坐標系中先確定兩個函數(shù)圖象中的一個，再判斷另一個.

■ （2011湖南湘潭）在同一坐標系中，一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=x2+a的圖象可能是（ ）

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■ 本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先根據(jù)一次函數(shù)y=ax+1過點（0，1）排除D，再根據(jù)二次函數(shù)y=x2+a開口向上排除B. 當a＞0時，A，C均不可能；當a＜0時，A不可能，只有C可能．

■ C .

■ （2011廣西賀州）函數(shù)y=ax－2（a≠0）與y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）

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■ 反比例函數(shù)和二次函數(shù)圖象

可將其轉(zhuǎn)化為求方程的解的問題，即轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點問題.

■ （2011江蘇無錫）如圖3，拋物線y=x2+1與雙曲線y=■的交點A的橫坐標是1，則關(guān)于x的不等式■+x2+1<0的解集是（ ）

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A． x>1 B． x<－1

C． 0

■ 由題設，易知y=■，從而■+x2+1<0等價于■<-x2-1，由二次函數(shù)的圖象知，y=-x2-1開口向下，頂點在（0，-1），與y=■的交點的橫坐標為-1，故關(guān)于x的不等式■+x2+1<0的解集是－1

■ D.

■ （2011江蘇揚州）如圖4，已知函數(shù)y=－■與y=ax2+bx（a>0，b>0）的圖象交于點P，點P的縱坐標為1，則關(guān)于x的方程ax2+bx+■=0的解為________.

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■ 三種函數(shù)的綜合

此類問題一般是先已知某個函數(shù)的圖象，再以已知函數(shù)的系數(shù)為載體找出另外兩個函數(shù)在同一直角坐標系下的函數(shù)的大致圖象.

解決問題的關(guān)鍵是由已知函數(shù)的圖象判斷出字母系數(shù)的正負、大小關(guān)系，再通過分類討論或排除法對答案進行篩選，進而得出最終答案.

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■ （2011山東萊蕪）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖5所示，則函數(shù)y=■與y=acx的圖象在同一坐標系中可能是（ ）

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■ 由二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向下可得a<0，拋物線與y軸負半軸相交可得c<0，由對稱軸在y軸右側(cè)可得－■>0，因此b>0. 從而可確定函數(shù)y=■的圖象在第二、四象限，函數(shù)y=acx的圖象經(jīng)過第一、三象限，因此只有A正確.

■ A.

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■ 二次函數(shù)y=ax2+bx+x的圖象如圖6所示，則反比例函數(shù)y=－■與一次函數(shù)y=bx+c的圖象在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是（ ）

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