函數與幾何圖形親密接觸

透過歷年各地的中考試題，我們不難發現有許多幾何圖形與一次函數、反比例函數緊密結合的題目，對此，不少同學感到難以下筆，事實上，若能巧妙地進行“數”與“形”之間的相互轉化，問題即可輕易解決.

■ 函數解析式與圖形面積結合

求解此類問題，首先應結合圖形，分析出題中有哪些已知條件，然后利用幾何圖形的面積公式或性質，建立函數關系式，根據題中的條件求出點的坐標或比例系數等，并全面考慮，從而正確獲解.

■ （2011湖北黃石）已知梯形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（-1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直線y=kx+2將梯形分成面積相等的兩部分，則k的值為（ ）

A. -■ B. -■

C. -■ D. -■

■ 因為梯形ABCD的四個頂點的坐標分別為A（-1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），所以梯形的面積為■=8. 因為直線y=kx+2將梯形分成面積相等的兩部分，所以直線y=kx+2與AD，AB圍成的三角形的面積為4. 設直線與x軸交于點（x，0），所以■（x+1）×2=4. 所以x=3. 所以直線y=kx+2與x軸的交點為（3，0）. 所以有0=3k+2，解得k=-■.

■ A.

■ （2011四川南充）過反比例函數y=■（k≠0）圖象上一點A，分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為B，C，如果△ABC的面積為3，則k的值為_______.

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在函數圖象中求幾何圖形的面積時，需先根據函數關系式求出幾何圖形的頂點坐標或設出頂點坐標，得出幾何圖形的邊長和高，然后利用面積公式求解.

■ （2011湖北荊州）如圖1，雙曲線y=■（x>0）經過四邊形OABC的頂點A，C，∠ABC＝90°，OC平分OA與x軸正半軸的夾角，AB∥x軸，將△ABC沿AC翻折后得到△AB′C，B′點落在OA上，則四邊形OABC的面積為_______.

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■ 求不規則圖形的面積時，可以轉化為求規則圖形的面積. 對于本題，可過點B作BD⊥x軸于點D，通過分析得出S四邊形OABC=S梯形OABD-S三角形OCD，解此題的關鍵是結合反比例函數的解析式和幾何圖形的性質求出A，C兩點的坐標.

■ 過點B作BD⊥x軸于點D， 由翻折可知 BC=B′C，∠ABC＝∠AB′C＝90°，所以B′C⊥OA. 因為OC平分OA與x軸正半軸的夾角， 所以 DC=B′C. 因為雙曲線y=■（x>0）經過四邊形OABC的頂點A，所以設Am，■，則由DB=■可知CD=■=■. 因為點C在雙曲線y=■（x>0）上，所以C2m， ■. 所以 S四邊形OABC=S梯形OABD-S三角形OCD=■-■=■-■ =3-1=2，所以四邊形OABC的面積是2.

■ （2011重慶綦江）如圖2，已知A（4，a），B（-2，-4）是一次函數y＝kx+b的圖象和反比例函數y=■圖象的交點.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式.

（2）求△AOB的面積.

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求解此類問題，應從函數關系式入手，過函數圖象上的點作垂線構造出幾何圖形，根據點的坐標得到線段的長度. 只要靈活運用圖形的性質，及時運用銳角三角函數、勾股定理等知識，便可將問題轉化到函數中來，并利用函數的性質獲解.

■ （2011四川樂山）如圖3，直線y=6-x交x軸、y軸于A，B兩點，點P是反比例函數y=■（x>0）的圖象上位于直線下方的一點，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，交AB于點E，過點P作y軸的垂線，垂足為點N，交AB于點F，則AF·BE等于（ ）

A. 8 B. 6

C. 4 D. 2

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■ 過點E作EC⊥OB于點C，過點F作FD⊥OA于點D，由直線y=6-x交x軸、y軸于A，B兩點求得點A與點B的坐標，則可得OA=OB，即可得△AOB，△BCE，△ADF是等腰直角三角形. 于是有AF·BE=■CE·■DF=2CE·DF. 又由四邊形CEPN與MDFP是矩形可得CE=PN，DF=PM. 根據反比例函數的性質即可求得答案為8．

■ A.

■ （2011安徽蕪湖）如圖4，在平面直角坐標系中有一正方形AOBC，反比例函數y=■經過正方形AOBC對角線的交點，半徑為4－2■的圓內切于△ABC，則k的值為_______.

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■ 函數與動點緊密結合

解決此類問題的關鍵是根據點的移動確定函數的解析式，從而確定其圖象；或者是根據函數的圖象確定點的運動路程，從而確定點的位置，進而求出所要解決的問題.

■ 如圖5，已知點P是線段AB上的動點（點P不與A，B重合），分別以AP，PB為邊在線段AB的同側作等邊三角形AEP和等邊三角形PFB，連結EF，設EF的中點為G，點C，D在線段AB上且AC=BD，當點P從點C運動到點D時，設點G到直線AB的距離為y，則能表示y與點P移動的時間x之間函數關系的大致圖象是（ ）

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■ 延長AE，BF交于點M，過點M作MN⊥AB于點N，GH⊥AB于點H，則GH∥MN. 易證△ABM是等邊三角形，四邊形EPFM是平行四邊形，所以點G是PM的中點. 所以■=■=■. 所以GH=■MN. 所以y是一個常函數.

■ D.

■ 如圖6，在矩形ABCD中，動點P從點B出發，沿BC，CD，DA運動至點A停止，設點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關于x的函數圖象如圖7所示，則△ABC的面積是（ ）

A． 10 B． 16

C． 18 D． 20

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