查漏補缺之一次函數和反比例函數

知識框架

基礎知識回顧

1. 正比例函數和一次函數的定義

一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的函數，稱為一次函數，其中k叫做比例系數. 當b=0時，一次函數y=kx+b變形為y=kx（k是常數，k≠0），此時函數稱為正比例函數.

（1）一次函數y=kx+b必須具備的兩個條件是：①k≠0，b為常數；②自變量x的次數為1次.

（2）正比例函數一定是一次函數，但一次函數不一定是正比例函數，只有當b=0時，一次函數才是正比例函數.

2. 反比例函數的定義

一般地，形如y=■（k≠0）的函數稱為反比例函數，其中k叫做比例系數.

（1）反比例函數y=■（k≠0）還可以寫成y=kx-1和xy=k的形式.

（2）在反比例函數y=■（k≠0）中，由于k≠0，所以反比例函數的函數值不等于0，并且反比例函數的自變量是在分母的位置上，所以反比例函數自變量x的取值范圍一般是非零的數.

3. 性質和圖象

一次函數的圖象是一條傾斜的直線，而反比例函數的圖象則是雙曲線.

4. 反比例函數中比例系數的幾何意義

反比例函數y=■的本質特征是：兩個變量y與x的乘積是一個常數k. 由此不難得出反比例函數的一個重要性質：如圖1，點P（x，y）是反比例函數y=■上任意一點，過點P作PA⊥x軸于點A，作PB⊥y軸于點B，則四邊形PAOB的面積S=k，S■=■k.

5. 一次函數與方程（組）、不等式的關系

（1）由于任何一元一次方程都可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值. 從圖象上看，這相當于已知直線y=ax+b，確定它與x軸的交點的橫坐標.

（2）由于任何一元一次不等式都可以轉化為ax+b＞0或ax+b＜0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看做當一次函數值大于或小于0時，求自變量相應的取值范圍. 從圖象上看，kx+b＞0的解集是直線y=kx+b位于x軸上方部分相應的x的取值范圍；kx+b＜0的解集是直線y=kx+b位于x軸下方部分相應的x的取值范圍.

（3）任何一個二元一次方程都對應著一條直線，所以每個二元一次方程組都對應著兩個一次函數，于是也對應著兩條直線，從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.