2011中考之反比例函數

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1. 一般地，形如_____的函數稱為反比例函數，其中x是自變量，y是函數．反比例函數也可寫成y=kx-1的形式，其中自變量x≠0，常數k≠0．

2. 反比例函數的圖象是_____，雙曲線的兩個分支不會與坐標軸相交． 當_____時，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而_____；當_____時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個象限內y隨x的增大而_____．

3. 在反比例函數y=■（k為常數，k≠0）中，k的幾何意義是_____.

4. 一般地，知道了函數圖象上任意一點的坐標，要確定函數的解析式，可采用_____法，即先設出函數解析式，然后將點的坐標代入，從而確定比例系數．

5. 利用反比例函數解決實際問題時，首先要建立_____，確定_____，再利用_____解決問題.

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反比例函數是初中數學中極其重要的一種函數，是歷年中考命題的熱點，在全國各地中考試題中都有所體現，常見題型有填空題、選擇題和解答題，主要考查反比例函數的意義，反比例函數的圖象及其性質，反比例函數與幾何圖形知識、學科外知識的綜合，反比例函數的實際應用等，考題有難有易， 解題的關鍵在于牢固掌握反比例函數的概念、圖象及性質，數形結合——將幾何圖形和代數知識有機結合起來，使抽象的問題更形象、直觀，化數為形，由形想數，使問題得以輕易解決.

■ （2011江蘇鹽城）對于反比例函數y=■，下列說法正確的是（ ）

A． 圖象經過點（1，-1）

B． 圖象位于第二、四象限

C． 圖象是中心對稱圖形

D． 當x＜0時，y隨x的增大而增大

■ C.

■ 本題考查反比例函數的圖象及性質． 反比例函數的對稱性和增減性是考查的熱點，同學們經常不對范圍進行限定，就直接說函數值隨自變量怎么變化，導致出錯． 對于本題，將（1，-1）代入解析式驗證可知A選項不成立；當k＞0時，反比例函數圖象位于第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而減小，可知B，D選項不成立；反比例函數是中心對稱圖形，所以C選項正確．

■ （2011四川南充）小明乘車從南充到成都，行車的平均速度y km/h和行車時間x h之間的函數圖象是（ ）

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■ B.

■ 本題考查反比例函數的圖象，解題時需先確定函數關系式及自變量的取值范圍，可設路程為s，得函數解析式y=■（s>0）， 從而其函數圖象為雙曲線的一支，在第一象限．

■ （2011貴州六盤水）若點（-3，y■），（-2，y■），（1，y■）在反比例函數y=■的圖象上，則下列結論正確的是（ ）

A． y■>y■>y■ B． y■>y■>y■

C． y■>y■>y■ D． y■>y■>y■

■ C.

■ 本題主要考查反比例函數的性質，解題時抓住k＞0，在各象限內y隨x的增大而減小的特點作出判斷，也可以畫出反比例函數y=■的圖象，再由x■，x■，x■的值找到圖象上相應y■，y■，y■的位置，通過比較三者的大小得出結論；還可以直接將-3，-2，1代入y=■中，求出y■，y■，y■的具體值進行大小比較.

■ （2011河北）根據圖1所示的程序，得到了y與x的函數圖象，如圖2，若點M是y軸正半軸上任意一點，過點M作PQ∥x軸交圖象于點P，Q，連結OP，OQ，有以下結論：

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①當x＜0時，y＝■；②△OPQ的面積為定值；③當x＞0時，y隨x的增大而增大；④MQ＝2PM；⑤∠POQ可以等于90°. 其中正確的結論是（ ）

A． ①②④ B． ②④⑤

C． ③④⑤ D． ②③⑤

■ B.

■ 本題以程序為背景，綜合考查同學們對反比例函數的圖象與性質的掌握與應用．根據程序流程圖，不難確定出y與x的函數關系式為y=－■，x<0，■，x>0.結合這兩個函數的圖象與性質，可判斷②④⑤為正確結論.

■ （2011內蒙古呼和浩特）在同一直角坐標系中，反比例函數y=■的圖象與一次函數y=kx+b的圖象相交，且其中一個交點A的坐標為（-2，3），若一次函數的圖象又與x軸相交于點B，且△AOB的面積為6（點O為坐標原點），求一次函數與反比例函數的解析式.

■ 將點A（-2，3）代入y=■中，得m=-6. 所以反比例函數的解析式為y=-■. 又由△AOB的面積為6，得點B的坐標為（4，0）或（-4，0）. 將A，B兩點的坐標代入一次函數解析式中，得一次函數的解析式為y=－■x+2或y=■x+6.

■ 本題綜合考查了一次函數、反比例函數、三角形面積公式、解一元一次方程、解二元一次方程組等知識，以及函數與方程、分類討論、待定系數法等數學思想方法．

■ （2011四川內江）如圖3，正比例函數y■=k■x與反比例函數y■=■交于A，B兩點，已知A（4，n），BD⊥x軸于點D，且S■=4． 過點A的一次函數y■=k■x+b與反比例函數交于另一點C，且與x軸交于點E（5，0）．

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（1）求正比例函數y■、反比例函數y■和一次函數y■的解析式.

（2）結合圖象，求出當k■x+b＞■＞k■x時x的取值范圍．

■ （1）正比例函數的解析式為y■=■x ，反比例函數的解析式為y■=■，一次函數的解析式為y■= －2x+10.

（2）由圖象知當k■x+b＞■＞k■x時，x＜-4或1＜x＜4.

■ 本題主要考查反比例函數和正比例函數、一次函數的知識，又涉及幾何圖形和不等式解集問題. 解題的關鍵是數形結合，抓住各種函數圖象的交點，這是唯一能溝通它們的要素．

■ （2011湖北仙桃）如圖4，已知直線AB與x軸交于點C，與雙曲線y=■交于A3，■，B（-5，a）兩點，AD⊥x軸于點D，BE∥x軸且與y軸交于點E.

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（1）求點B的坐標及直線AB的解析式.

（2）判斷四邊形CBED的形狀，并說明理由.

■ （1）點B的坐標為（-5，-4），直線AB的解析式為y=■x+■. （2）四邊形CBED是菱形，理由如下：點D的坐標是（3，0），點C的坐標是（-2，0），由BE∥x軸，點E的坐標是（0，-4），而CD=5， BE=5， 且BE∥CD，說明四邊形CBED是平行四邊形. 在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，所以ED＝CD. 所以四邊形CBED是菱形.

■ 將點A代入雙曲線方程求得k值，即利用待定系數法求得雙曲線方程；然后將B點代入其中，從而求得a值. 設直線AB的解析式為y=mx+n，將A，B兩點的坐標代入，利用待定系數法解答；再由點C，D的坐標、已知條件BE∥x軸及兩點間的距離公式求得CD=5，BE=5，且BE∥CD，從而可以證明四邊形CBED是平行四邊形.再通過證明ED=CD得到結論．