基于“課題研究模式”的數學教學內容理解和處理

數學教學中，教師具備一定的課題研究意識和能力，將教學內容變成課題研究的過程，引導學生作為研究者或探究者來操作學習材料，對培養學生的思維能力和創新意識大有好處。調研發現，學生的數學合情推理與演繹推理能力不強，知其然而不知其所以然；缺乏“尋找表面看似不同的材料間共性結構，對感悟到的命題的嚴密求證，問題解決的簡便方法尋找——等等”的思維方式和求真意識，而這正是引導數學家研究數學的動力。

當教師把數學教學內容變成課題研究來理解并對學生解讀時，使得師生探究活動類似于數學家研究和發展該學科的那種方式進行，就能真正地開展學生合作探究交流的學習活動。也就是說，基于“課題研究模式”的數學教學內容的理解和處理，有助于教師設置利于學生的思維能力和創新能力發展的師生探究活動，實現新課程的教學要求。

一、基于“課題研究模式”的數學教學內容理解和處理的緣由

我們知道，課題研究模式一般是這樣的，1、研究背景與問題提出，2、研究目的與意義，3、國內外有關研究綜述，4、研究思路與方法，5、研究創新點，對研究的“是什么？”“為什么？”“怎么樣？”等進行了描述。這模式為研究課題指明了研究范式和思考框架，按此進行“研究設計”思考，可以確保課題研究的新穎性、合理性、科學性和創新性。它是研究工作的線索，也是解讀一項研究工作的框架。

數學教學內容是人類課題研究的結晶，在教科書中是以一定的邏輯演繹定論形式呈現的，其中課題發現以及研究過程不可能在教科書中呈現出來，但是研究過程對學生的思維能力和創新能力是必不可少的，需要教師對數學教學內容進行加工改造，將“知識結果”還原成類似人類科學發現的“研究過程”，以使得學生以探究者身份對此進行操作，獲得發現問題、分析問題和解決問題的本領，掌握人類積累下來的知識觀點和思想方法。

在新課程教學理念下，教師對數學教學內容的處理，關鍵在于將“知識內容”轉化成“研究過程”，為學生探究合作交流提供土壤。而這種轉化技術，需要教師對教學內容的“研究性理解”。所謂教學內容的“研究性理解”，就是將教學內容視為一個課題的研究成果，從課題研究模式進行解讀教學內容，以此安排教學活動過程。教師通過對教學內容的研究性理解，做好表征研究過程，生成學生探究活動。

二、基于“課題研究模式”的數學教學內容理解和處理

教師處理數學教學內容，實質上就是自我理解并操作教學內容，由此按照教學目標的要求將教學內容處理為利于學生知識內化和能力培養的學習活動材料。為此，教師可以借助“課題研究模式”，對數學教學內容進行研究性理解和處理，使得“靜態”教學內容變成“動態”的研究過程，教學過程變得親切而自然、有興趣而富于挑戰性。下面以九年級《公式法解一元二次方程》（人教版）為例來說明。

1.確定教學內容的“課題”及其研究域

教師根據教學內容的“是什么、為什么、怎么樣”理解，概括出研究“課題”題目內涵；然后對照教學目標要求和學生實際水平，確定此課題研究的范圍和深度，最后進行研究材料的選擇。例如，該《公式法解一元二次方程》課題題目就反映出：一元二次方程求根公式是什么；一元二次方程公式怎么得到的；一元二次方程公式法怎么應用。進一步確定此課題研究域：關于一元二次方程解的存在性（兩解、一解和無解）、以及解的推導表達，公式法運用技能技巧。這反映了課題研究討論的順序。除此之外，考慮該課題研究，需要哪些材料來說明解的存在性，以及推導出“公式法”在哪些材料中可以檢驗，如何應用研究得到的知識觀點和思想方法，等等。

2.從“研究背景和問題提出”角度理解教學內容

確定“課題”后，了解該課題應該在什么知識背景下才可能探究，它是通過什么問題來展開研究的，即，或為解決一類問題而產生的，或修改已有的知識觀點。當然，問題探索結果，能提出假設結論，也就是說，問題情境應內含著課題的一般觀點和思想方法。例如，該《公式法解一元二次方程》是在一些比較特殊的一元二次方程求解的基礎上，再對一般一元二次方程求解研究。作為一個課題研究所依賴的問題（問題提出）能達到：或尋求一元二次方程解的特征（有、無解），或尋求一般一元二次方程的公式解（能否用未知數系數表達方程的解），或解決特殊方程不易求解的有關實際問題。

3.從“研究目的與意義”角度理解教學內容

教學內容“課題”深入研究，需要整體上明確該課題的目的，即，或解決哪類問題？或建構多大知識體系？同時，分析該課題存在的價值以及現實意義，并在研究活動中體現出該課題的作用以及構成該體系的紐帶聯系，這需要從數學哲學角度上高屋建瓴地闡釋其目的和意義。例如，該《公式法解一元二次方程》研究目的，應是探究更加一般化的解方程規律，提高解方程的效率。其實踐意義，應是尋找有關一元二次方程實際應用的方法；其理論意義，應是發展了方程理論，并驗證了帶根號無理數和不能開平方的負數的存在性，推動了數域的發展。

4.從“有關研究綜述”角度理解教學內容

對于該教學內容“課題”的研究，在此之前有何研究（或涉及）呢？程度如何？或者相關研究如何？本研究是對原來研究的發展呢？還是對幾個相關內容的概括提升，抑或對類似問題的研究？等等，研究結果會達到什么地步？有關研究對本課題研究在方法上有什么啟示？例如，該《公式法解一元二次方程》的有關研究，有配方法和直接開平方法，也有一元一次方程的一般公式解法，這些都是研究《公式法解一元二次方程》的基礎。從以前相關研究中可以啟示（即“述評”），解方程無論什么方法，目的是化繁難為容易，即降低未知數的次數和減少未知數的個數（降次和消元），化成一元一次方程為最后目標。

5.從“研究方法與思路”角度理解教學內容

研究該教學內容的課題，需要借助什么方法論證課題假設？并能說明這種方法的合理性。在情境中發現問題、分析問題、解決問題的每個階段要用什么方法？以及小組討論時，對什么內容應該采用什么方法？同時研究該課題的思路是什么？為什么是這樣？為此，師生在研究活動中，使學生明確研究方向，思路清楚，掌握研究方法，以此培養思維能力和創新能力。例如，該《公式法解一元二次方程》的研究方法，首先借用分類法從問題情境中發現一元二次方程解的類型假設，由此產生新的問題，即，為什么會產生不同解（有解或無解），接著推導出一般方程的公式解，論證并說明解的存在性，然后進行技能技巧的訓練，加深知識觀點和思想方法的理解，最后接受理論和實踐的檢驗，學生從中獲得解決實際問題的能力。

6.從“研究創新點”角度理解教學內容

通過研究該課題，得到哪些新知識點和思想方法？可以解決什么問題？能對以前的知識得到什么樣的發展？顯然，課題的研究創新點正是學生必須掌握的顯性知識（概念公式等）以及隱性知識（思想方法等）。例如，該《公式法解一元二次方程》研究創新點，一是理論推導出求根公式，二是解決了一元二次方程“用未知數系數求解方程根的問題”（一般地，一元五次或五次以上方程的根不可以用系數根號表示的，即阿貝爾理論），三是討論了一元二次方程解的情況，四是發現了“新數”（無理數和虛數），五是配方法、直接開平方法和降次思想等的綜合應用。

由此可見，這些理解處理是把教學內容作為研究課題所闡發的知識意義、方法、思想、過程、情感等的全景圖式展示，它展現了數學家研究該課題的動態過程。事實上，學生只有模擬如此的研究場景和身同感受地研究，才稱得上有效學習，才能掌握人類歷史積累下來的知識及其思想觀點方法，才能在此過程中獲得素質發展。教師借用“課題研究模式”指導自己的教學內容操作處理，有助于引導學生的探究活動，培養學生思維能力和創新意識、以及情感態度價值觀。例，結合“課題研究模式”的理解與教學活動規律的要求，發掘《公式法解一元二次方程》的探究活動線索。

（1）問題情境（基于“研究背景和問題提出”）

老師：請同學們解答下列問題并討論一元二次方程解的大致情況。

①（x-4）2=0；（2）x2-4=0；（3）x2+4=0

學生：（1）有兩相等解；（2）有兩不等解；（3）沒有實數解。

老師：是不是一元二次方程解的情況就是（1）（2）（3）類型呢？請同學們回憶或舉出一些一元二次方程，看它們的解是不是如上幾類，或者超出以上類型。

（2）提出假設（基于“研究背景和問題提出”和“研究目的和意義”）

師生通過分析、概括和歸納，得出如下假設：

①一元二次方程最多有兩解。

②一元二次方程或兩解、或一解、或無解。

老師：我們得到這樣的假設，有什么用呢？

（3）證明假設（基于“有關研究綜述”和“研究方法與思路”）

老師：如何證明我們得到的假設呢？學過的一元二次方程求解方法中哪些可用？

學生：利用以前學過的直接開平方和配方法或許可以推導出解的公式，得到一元二次方程的解的情況。

老師：選取一元二次方程的什么形式來推證呢？為什么呢？

學生：選取一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），它具有一般性。

師生探討：

ax2+bx+c=0（a≠0）

方程兩邊除以a，得.（由“1中（1）、（2）、（3）x2的系數都是1”想到）

x2+x+=0

配方得. （由“1中（1）中的（x-4）2=0”想到配方法）

（x+）2-=0（由“1中（2）中的x2-4=0”想到）

或

（x+）2= （由“1中x2=4”想到直接開平方法）

當>0時，有x+=x+（類似于“1中x2=4直接開平方得x=±2”）.

當=0時，有（x+）２=0 （類似于“1中（x-4）2=0”）.

當<0時，有（x+）２=在實數范圍內不成立。（類似于“1中x2+4=0”）.

由合情推理與演繹推理相結合，得到如上的探索與求證過程。結果整理如下：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情況及解的公式。

①當b2-4ac>0時，ax2+bx+c=0有兩不等的實解，x1，x2=x±b+。

②當b2-4ac=0時，ax2+bx+c=0有兩相等的實解，x1=x2=-。

③當b2-4ac<0時，ax2+bx+c=0無實解。

（4）結論分析（基于“研究創新點”和“研究目的和研究意義”）

師生對以上探究過程進行討論后，得到如下結論：

①一元二次方程的解可以用未知數系數表達。

②配方法可以求解任何一元二次方程。

③降低次數是解高次方程的關鍵。

老師：還有沒有其他結論呢？這些結論對你有何啟發？

或者進一步說，這樣的探討，對學習其他內容有何建議呢？

（5）綜合應用（基于“研究方法與思路”）

教師布置練習，師生或學生獨立完成。

①技能訓練

練習各種變式題目（盡量用多種方法求解）

②建模訓練

解決有關一元二次方程的實際問題（結果可以是取近似值的根式）

（6）學生對探究的總結

教師引導學生對“原型問題、歸納假設、推理方法、結論意義，結構模式，等等”，進行研究性的反思。

由此可見，借用“課題研究模式”進行數學教學設計時，就能全面而又深刻地考慮教學內容的課題探究，尤其是通過該模式的教學內容理解和處理，發現原先發現不了的對教與學有啟發價值的東西，教師由此生成指導學生探究活動的有效方法。

我們知道，數學新課程內容相對減少了，但學習目標提升了。前者為數學教學方式的改革提供了時間和空間的保障，后者為數學教學方式的改革提出了方向和質量的指導。開展學生有效的探究合作交流的教學方式，是教學理論與實踐探討的有價值課題。利用“課題研究模式”，提高教師數學教學內容理解和處理能力，不乏是在觀念操作上探討數學教學方式改革的新舉措。

參考文獻

鄭毓信.數學教育哲學.成都：四川教育出版社，2001，9.

（責任編輯 劉永慶）