轉(zhuǎn)換思路解數(shù)學(xué)題

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題方法很多，思路不同，解法也不同。人們要到達(dá)一個地方，如果一條路走不通，就會另找一條能達(dá)目的的途徑。解數(shù)學(xué)題也與此類似，如果直接解答有困難，就需要通過轉(zhuǎn)換思路來解決問題。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)換思路；解題

據(jù)說著名數(shù)學(xué)家高斯上小學(xué)的時候，老師出了一道題：把1，2，3，……，20連加起來，求和是多少。當(dāng)其他學(xué)生還沒怎么動筆時，高斯就已經(jīng)把正確答案寫了出來，老師大驚。小高斯是怎么算出來的呢？原來小高斯不是按原來的順序計算的，而是這樣算的：1+2+3+……+20=（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（10+11）=21×10=210。

實際上，小高斯是轉(zhuǎn)換了思路，根據(jù)加法適合交換律、結(jié)合律的特性將問題轉(zhuǎn)化成易于解決的形式，從而很快得出結(jié)果。

在解數(shù)學(xué)題時，若能轉(zhuǎn)換思路，將問題轉(zhuǎn)化成與原命題等價的易于求解的問題，將會收到事半功倍的效果。

下面略舉數(shù)例加以說明。

例1．空間有100個點，任何三點不共線，任何四點不共面，任意兩點連一直線，共可確定多少對異面直線？

分析：此問題直接考慮比較困難，但我們知道一個三棱錐的六條棱可以確定三對異面直線，因此，只需考慮可確定多少個三棱錐即可。因滿足條件的任何四點可確定一個三棱錐，故共可確定4×C1004對異面直線。

例2．方程x1+x2+x3+……+xn(n，m為正整數(shù))的非負(fù)整數(shù)解有多少個？

分析：此題直接解答同樣困難。可以將其轉(zhuǎn)化為排列組合中球放入盒子的問題來考慮：相當(dāng)于m個相同的球放入n個不同的盒子里，求共有多少種放法（每個盒子里的球數(shù)不限），因為方程的一個非負(fù)整數(shù)解對應(yīng)m個相同的球放入n個不同盒子的一種放法，故共有個非負(fù)整數(shù)解。

例3．化簡

分析：設(shè)=-，因=，所以

a+b=11ab=18解得a=9，b=2 故=3-

此例將問題轉(zhuǎn)化成求方程組的解。

例4．已知數(shù)列an=n（n+1），求Sn。

分析：因為C2k+1=，所以k（k+1）=2C2k+1

ak=k（k+1）=2C2k+1（k=1，2，…，n）

故Sn=2C22+2C23+2C24+…+2C2n+1

=2（C22+2C23+2C24…+2C2n+1）

=2C3n+2=n（n+1）（n+2）

此題將數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為分析通項、找出規(guī)律，進而運用公式Ckn+Ck+1n=Ck+1n+1求出S。

參考文獻

[1]翟連林.《中等數(shù)學(xué)習(xí)題集》第一冊[M].科學(xué)出版社，1981.452—453.

責(zé)任編輯 周正旺