轉換思路解數學題

[摘 要] 數學解題方法很多，思路不同，解法也不同。人們要到達一個地方，如果一條路走不通，就會另找一條能達目的的途徑。解數學題也與此類似，如果直接解答有困難，就需要通過轉換思路來解決問題。

[關鍵詞] 數學；轉換思路；解題

據說著名數學家高斯上小學的時候，老師出了一道題：把1，2，3，……，20連加起來，求和是多少。當其他學生還沒怎么動筆時，高斯就已經把正確答案寫了出來，老師大驚。小高斯是怎么算出來的呢？原來小高斯不是按原來的順序計算的，而是這樣算的：1+2+3+……+20=（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（10+11）=21×10=210。

實際上，小高斯是轉換了思路，根據加法適合交換律、結合律的特性將問題轉化成易于解決的形式，從而很快得出結果。

在解數學題時，若能轉換思路，將問題轉化成與原命題等價的易于求解的問題，將會收到事半功倍的效果。

下面略舉數例加以說明。

例1．空間有100個點，任何三點不共線，任何四點不共面，任意兩點連一直線，共可確定多少對異面直線？

分析：此問題直接考慮比較困難，但我們知道一個三棱錐的六條棱可以確定三對異面直線，因此，只需考慮可確定多少個三棱錐即可。因滿足條件的任何四點可確定一個三棱錐，故共可確定4×C1004對異面直線。

例2．方程x1+x2+x3+……+xn(n，m為正整數)的非負整數解有多少個？

分析：此題直接解答同樣困難。可以將其轉化為排列組合中球放入盒子的問題來考慮：相當于m個相同的球放入n個不同的盒子里，求共有多少種放法（每個盒子里的球數不限），因為方程的一個非負整數解對應m個相同的球放入n個不同盒子的一種放法，故共有個非負整數解。

例3．化簡

分析：設=-，因=，所以

a+b=11ab=18解得a=9，b=2 故=3-

此例將問題轉化成求方程組的解。

例4．已知數列an=n（n+1），求Sn。

分析：因為C2k+1=，所以k（k+1）=2C2k+1

ak=k（k+1）=2C2k+1（k=1，2，…，n）

故Sn=2C22+2C23+2C24+…+2C2n+1

=2（C22+2C23+2C24…+2C2n+1）

=2C3n+2=n（n+1）（n+2）

此題將數列求和問題轉化為分析通項、找出規律，進而運用公式Ckn+Ck+1n=Ck+1n+1求出S。

參考文獻

[1]翟連林.《中等數學習題集》第一冊[M].科學出版社，1981.452—453.

責任編輯 周正旺