根據奇偶性、對稱性、周期性求函數的解析式

關鍵詞：函數；奇偶性；對稱性；周期性；解析式

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B

文章編號：1009-010X（2012）12-0060-01

函數的奇偶性是函數的一個重要性質，學生在學習函數的奇偶性時就學習了根據奇偶性求函數的解析式，其解法關鍵在于利用奇偶性進行對稱區間的轉換。我們知道，函數奇偶性是一般中心對稱、軸對稱的特殊情況，類比由奇偶性求解析式，我們同樣可以根據一般的對稱性來求函數的解析式。由周期性求解函數解析式在解法上也與以上兩種求解有很大的相似之處。但對于根據一般的對稱性、周期性求函數的解析式，許多同學掌握得不扎實，本文就這三種條件下的理論知識及求解析式的方法進行闡述。

一、根據函數奇偶性求函數解析式

由圖象特征，若已知奇偶函數在部分區間上的函數圖象，則可根據對稱性畫出其在對稱區間上的圖象。同樣的，若已知奇偶函數在部分區間上的解析式，則亦可求出其在對稱區間上的解析式，關鍵是注意區間的轉換。

例1.已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x>0時，

（解略）

二、根據函數的對稱性求函數的解析式

函數的奇偶性本質上是一個函數本身的兩種特殊的對稱性，那么對于一般的對稱性，我們有以下結論。

（一）函數圖象自身的對稱性

1.關于y軸對稱的函數（偶函數）的充要條件是f（-x）=f（x）.

2.①如果函數f（x），x∈D滿足？坌x∈D，恒有f（a+x）=f（a-x），那么函數圖象有對稱軸x=a；

②如果函數f（x），x∈D滿足，？坌x∈D恒有f（x）=f（2a-x），那么函數圖象有對稱軸x=a；

（簡證：設點（x1，y1）在y=f（x）上，通過f（x）=f（2a-x）可知，y1=f（x1）=f（2a-x1），即點（2a-x1，y1）也在y=f（x）上，而點（x1，y1）與點（2a-x1，y1）關于x=a對稱。得證。）

③如果函數f（x），x∈D滿足？坌x∈D，恒有f（-x）=f（2a+x），那么函數圖象有對稱軸x=a；

3.關于原點（O，O）對稱的函數（奇函數）的充要條件是f（x）+f（-x）=0.

4.①如果函數f（x），x∈D滿足？坌x∈D，恒有f（a+x）+f（a-x）=2b，那么函數圖象關于點（a，b）對稱；

②如果函數f（x），x∈D滿足？坌x∈D，恒有f（2a+x）+f（-x）=2b，那么函數圖象關于點（a，b）對稱；

③如果函數f（x），x∈D滿足？坌x∈D，恒有f（2a-x）+f（x）=2b，那么函數圖象關于點（a，b）對稱；

（簡證：設點（x1，y1）在y=f（x）上，即y1=f（x1），通過f（2a-x）+f（x）=2b可知f（2a-x1）+f（x1）=2b，所以f（2a-x1）=2b-f（x1）=2b-y1，所以點（2a-x1，2b-y1）也在y=f（x）上，而點（2a-x1，2b-y1）與（x1，y1）關于點（a，b）對稱。得證。）

根據對稱性求解析式，與奇偶性類似，關鍵也是注意變量區間的轉換。

例2.（1）已知函數f（x），x∈D的圖象關于直線x=1對稱，且當x∈[1，∞]時，f（x）=x2，求f（x）.

（解略）

（2）已知函數f（x），x∈D的圖象關于點（1，0）對稱，且當x∈[1，∞]時，f（x）=x2，求f（x）.

（解略）

（二）兩個函數的圖象對稱性（相互對稱）

例3.已知函數f（x）=xe-x（x∈D），函數y=g（x）的圖像與函數y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求g（x）的解析式.

（解略）

三、根據周期函數的概念求函數解析式

（一）關于函數周期性的一些結論（T≠0，a≠0）

1.f（x+T）=f（x）？圳y=f（x）的周期為T.

2.f（x+a）=f（x-a）？圳y=f（x）的周期為T=2a.

3.f（x+a）=-f（x）？圳y=f（x）的周期為T=2a.

6.f（x+a）=f（x+b）（a≠b）？圳y=f（x）的周期為T=a-b.

（二）函數對稱性與周期性關系

①y=f（x）有兩條對稱軸x=a和x=b（a≠b）

？圳y=f（x）周期T=2a-b.

②y=f（x）有兩個對稱中心（a，0）和（b，0）

？圳y=f（x）周期T=2a-b.

③y=f（x）有一條對稱軸x=a和一個對稱中心（b，0）（a≠b）

？圳y=f（x）周期T=4a-b.

例4.已知函數f（x），x∈D當x∈[1，1]時，f（x）=x2，且f（x+2）=f（x），求f（x）.

可見，已知周期函數在定義域的某一區間內的解析式，求函數在另一區間或整體定義域內的解析式時，關鍵也是注意區間的轉換，這與前邊由奇偶性、對稱性求解析式是相似的。