微元法在高中物理教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要：微元法是一種重要的科學(xué)方法，即在問(wèn)題解決中選取微小的“對(duì)象”或“過(guò)程”進(jìn)行問(wèn)題的分析研究。微元法在高中物理教學(xué)中有重要的應(yīng)用，也是高考物理考查的一種問(wèn)題解決方法。

關(guān)鍵詞：微元法；高中物理教學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2012）12-0053-03

微元法是指人們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)，將其研究對(duì)象或物理過(guò)程分解為若干微小的“元對(duì)象”或“元過(guò)程”，由于每個(gè)“元對(duì)象”或“元過(guò)程”遵循相同的規(guī)律，所以只需分析某個(gè)“元對(duì)象”或“元過(guò)程”，然后再將“元對(duì)象”或“元過(guò)程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問(wèn)題獲解的科學(xué)思維方法。該方法是分析、解決物理問(wèn)題中的常用方法，是從部分到整體的思維方法。用該方法可以使一些復(fù)雜的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題，以便人們利用熟悉的物理概念、規(guī)律迅速地解決復(fù)雜的物理問(wèn)題。

一、微元法在教材中的呈現(xiàn)

筆者認(rèn)真研讀了新課標(biāo)教材（人教版），發(fā)現(xiàn)在必修1和必修2中，有14處體現(xiàn)了微元法，如下表所示。

二、利用微元法構(gòu)建概念、建立規(guī)律

在新課標(biāo)教材（人教版）中，利用微元法構(gòu)建概念、建立規(guī)律。如必修1第一章第3節(jié)《運(yùn)動(dòng)快慢的描述—速度》中，在引入瞬時(shí)速度的概念時(shí)，教材從平均速度出發(fā)，提出從t到t+△t這段時(shí)間間隔內(nèi)，△t越小，運(yùn)動(dòng)快慢的差異也就越小，運(yùn)動(dòng)的描述就越精確。如果△t非常非常小，我們就把稱作物體在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度。這里的“△t非常非常小”就是對(duì)時(shí)間微元的思想方法，正是這種無(wú)限分割的方法，可以使原來(lái)較為復(fù)雜的過(guò)程轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的過(guò)程。

又如必修1第二章第3節(jié)《勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間關(guān)系》中，推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式，顯然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是變化的，不能直接套用勻速直線運(yùn)動(dòng)的公式。但是我們可以想象，如果把整個(gè)過(guò)程的時(shí)間分成無(wú)數(shù)微小的時(shí)間間隔，分得愈密，每一份的時(shí)間間隔也就愈小，在此間隔內(nèi)，速度的變化亦就愈小，當(dāng)分得足夠細(xì)時(shí)，就可以認(rèn)為速度幾乎不變，此時(shí)就可將每一微元過(guò)程按勻速直線運(yùn)動(dòng)來(lái)處理。這樣對(duì)物理過(guò)程微元后再累加就可以用速度圖線與時(shí)間軸所圍的面積表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移了。這種研究過(guò)程微元然后再累加的方法，體現(xiàn)了化勻變速直線運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)的思想，是一種典型的化繁為簡(jiǎn)的方法。

再如必修2第五章第四節(jié)《重力勢(shì)能》中，計(jì)算物體沿任意路徑向下運(yùn)動(dòng)時(shí)重力所做的功時(shí)，先將物體運(yùn)動(dòng)的整個(gè)路徑分成許多很短的間隔，由于每一段都很小很小，就可以將每一段近似地看做一段傾斜的直線，從而就能利用功的定義式計(jì)算出每一小段內(nèi)重力做的功，再累加得到整個(gè)過(guò)程重力的總功。第五節(jié)《彈性勢(shì)能》中關(guān)于在求彈簧彈力所做的功時(shí)，先將彈簧拉伸的整個(gè)過(guò)程分成很多小段，在足夠小的情況下，每一小段位移中可以認(rèn)為拉力是不變的，從而也能直接利用功的定義式來(lái)計(jì)算每一小段內(nèi)拉力所做的功，再累加得到整個(gè)過(guò)程拉力的總功。這兩個(gè)功的計(jì)算，前者的難點(diǎn)在于物體運(yùn)動(dòng)的路徑是曲線，后者的難點(diǎn)在于力的大小在變化。教材中的處理方法是前者采用了“化曲為直”的思想，后者采用了“化變?yōu)楹恪钡乃枷搿?/p>

以上四個(gè)實(shí)例中，前兩個(gè)取的是“一小段時(shí)間”，即“時(shí)間元”；后兩個(gè)取的是“一小段位移”，即“位移元”，這是中學(xué)物理中常用的兩個(gè)微元。在機(jī)械運(yùn)動(dòng)中，瞬時(shí)速度概念的建立，是微元思想具體應(yīng)用的典范。其實(shí)，像瞬時(shí)加速度、瞬時(shí)電流、瞬時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)等物理概念的構(gòu)建，都利用了微元思想，教科書(shū)中都未作深入的探討，但教師如果能夠?qū)⑦@些概念的建立與瞬時(shí)速度概念的建立進(jìn)行類比，不僅能讓學(xué)生加深對(duì)微元概念的理解，而且能為學(xué)生學(xué)習(xí)微元法提供機(jī)會(huì)。學(xué)生掌握了微元思想有助于對(duì)這些物理概念、規(guī)律的理解，有助于拓寬知識(shí)的深度和廣度，同時(shí)開(kāi)拓了解決物理問(wèn)題的新途徑，是認(rèn)識(shí)過(guò)程中的一次飛躍。

三、利用微元法處理物理問(wèn)題

“微元法”作為高中物理的一個(gè)重要思想方法，在應(yīng)用于處理物理問(wèn)題時(shí)，其解題思路可概括為：①選取微元用以量化元研究對(duì)象或元研究過(guò)程；②視元研究對(duì)象或元研究過(guò)程為恒定，運(yùn)用相應(yīng)的規(guī)律給出待求量對(duì)應(yīng)的微元表達(dá)式；③在微元表達(dá)式的定義域內(nèi)給以疊加演算，進(jìn)而求得待求量。選取“微元”，將瞬時(shí)變化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平均變化或恒定不變的問(wèn)題，再利用數(shù)學(xué)“微積分”知識(shí)，將平均變化或恒定不變的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)變化問(wèn)題，這樣實(shí)現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)解決問(wèn)題。

例1.（2011安徽理綜卷）一般的曲線運(yùn)動(dòng)可以分成很多小段，每小段都可以看成圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，即把整條曲線用一系列不同半徑的小圓弧來(lái)代替。如圖1所示，曲線上的A點(diǎn)的曲率圓定義為：通過(guò)A點(diǎn)和曲線上緊鄰A點(diǎn)兩側(cè)的兩點(diǎn)作一圓，在極限情況下，這個(gè)圓就叫做A點(diǎn)的曲率圓，其半徑ρ叫做A點(diǎn)的曲率半徑。現(xiàn)將一物體沿與水平面成α角的方向以速度v0拋出，如圖2所示。則在其軌跡最高點(diǎn)P處的曲率半徑是（ ）。

解析：斜拋出去的物體到達(dá)最高點(diǎn)的速度沿水平方向，大小為v =v0cosα，加速度為a=g，由向心加速度公式，a=v2/ρ，解得軌跡最高點(diǎn)P處的曲率半徑是ρ=，選項(xiàng)C正確。

點(diǎn)評(píng)：此題是根據(jù)新課標(biāo)必修2第21頁(yè)內(nèi)容改變的。一般曲線運(yùn)動(dòng)，軌跡各個(gè)位置的彎曲程度不同，在研究時(shí)可以把曲線分割成許多很短的小段（微元法），質(zhì)點(diǎn)在每一小段的的運(yùn)動(dòng)視為圓周運(yùn)動(dòng)，采用圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法處理。此題考查的是一般曲線運(yùn)動(dòng)的處理方法（化曲線運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)）和向心加速度等知識(shí)點(diǎn)。

例2.如圖3所示，在半徑為R的圓柱形容器中盛有高為H的水，當(dāng)容器底部開(kāi)一半徑為r的小孔，孔上有塞子，問(wèn)當(dāng)把塞子拔掉時(shí)，最初水以多大的速率從孔中流出？

解析：拔掉塞子，從孔中流出水時(shí)，液面不斷降低，由于容器內(nèi)的剩余部分水對(duì)器壁的壓強(qiáng)和壓力一直在變化，要確定從孔中流出的水的速率難以用公式直接求。為此，我們將研究對(duì)象——水，進(jìn)行無(wú)限小分割，取拔掉塞子瞬時(shí)位于小孔口處△m為研究對(duì)象，如圖所示，由于△m很小，所以認(rèn)為Δm流出前后，其上部液體產(chǎn)生的壓強(qiáng)p保持恒定，因而壓力F看成恒力，其大小為F=p·Δs=p·例3. 如圖4所示，某個(gè)力F作用于半徑R的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向保持任何時(shí)刻均與作用點(diǎn)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周，這個(gè)力F做的總功為多少？

解析：如圖5所示。微分圓周為各小段的弧長(zhǎng)Δs足夠小（Δs→0），在這Δs內(nèi)F的方向幾乎與該小段的位移相同，則F做的總功為：

W=FΔs1+FΔs2+FΔs3+…=F·2πR=2πFR

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)研究對(duì)象微元，“化曲為直”等效為將運(yùn)動(dòng)軌跡曲線的圓周拉成直線，力F所做的功相當(dāng)于力與物體運(yùn)動(dòng)路程的乘積。

例4.如圖6所示，質(zhì)量為m的小車以恒定的速率v沿半徑為R的豎直圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)，小車與圓環(huán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，試求小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過(guò)程中摩擦力所做的功。

解析：小車的運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，小車對(duì)軌道的壓力大小方向在不斷地變化，所以軌道與小車間的摩擦力大小、方向也在不斷地變化，現(xiàn)取兩個(gè)對(duì)稱的微元進(jìn)行分析，如圖7所示。

在圓環(huán)上的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)A和B，OA和OB與豎直的直徑的夾角均為θ，小車在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得在A點(diǎn)FN1-mgcosθ=m，在B點(diǎn)FN2+mgcosθ=m

在A、B兩點(diǎn)取兩段無(wú)窮小的圓弧，摩擦力在A、B兩點(diǎn)所做的功為：

△W1=-μFN1·Δs1；△W2=-μFN2·Δs2

則△W1+△W2=-mμ（Δs1+Δs2）

小車由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過(guò)程中，摩擦力所做的總功為：W總=△W1+△W2+△W3+△W4+…

=-m·μ×（Δs1+Δs2+Δs3+Δs4+…）

=-m·μ·πR=-μπmv2

點(diǎn)評(píng)：選取兩個(gè)微元對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)兩個(gè)微元對(duì)象列微元方程，然后累加求和，這較好地體現(xiàn)了利用微元法解題的思路和方法。利用“化曲為直”，將不能用W=Fscosα求功轉(zhuǎn)化為能用，實(shí)現(xiàn)了“化否為能”。否則必須研究小車的牽引力，利用動(dòng)能定理求解，但牽引力是未知的，而這對(duì)于本題是無(wú)效的。所以解題者善于遷移和轉(zhuǎn)化，會(huì)收到事半功倍的效果。

例5. 在光滑的直角坐標(biāo)系xOy水平面的第一象限內(nèi)分布有磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B、方向垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在xOy平面內(nèi)放置一單匝矩形導(dǎo)線框abcd，線框邊長(zhǎng)ab = L、ad = 2L，電阻為R，質(zhì)量為m。t = 0時(shí)，cd邊與Oy軸重合，線框以初速度v0沿x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)空氣阻力。

（1）求cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，c、d間的電勢(shì)差U；

（2）試討論求線框最終速度大小及對(duì)應(yīng)的初速度v0的范圍；

（3）求線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)導(dǎo)線橫截面的電荷量q大小；

解析：（1）線框cd邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，切割磁感線的速度為v0，線框中電動(dòng)勢(shì)大小為E=BLv0

導(dǎo)線中的電流大小I=

c、d間的電勢(shì)差U=I·R=BLv0

（2）線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中速度為v時(shí)，受到的安培力F=BiL=BL=

在t→t+Δt時(shí)間內(nèi)，由F=ma，△v=a△t

得-FΔt=mΔυ

求和得 -∑v△t = ∑mΔv

若x < 2L時(shí)，線框速度為零，以后保持靜止?fàn)顟B(tài)，則

∑△x =x=mυ0 解得x=

即線框的初速度v0滿足0

若x≥2L時(shí)，線框速度不為零，而速度v沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則

∑△x =·2L =mυ0-mv 得v=v0-

即線框的初速度v0滿足v0≥時(shí)，線框最終速度大小為v0-。

（3）導(dǎo)線框的平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為==

導(dǎo)線框中的電流為=，線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)導(dǎo)線橫截面的電荷量q=△t，得q=

當(dāng)0<υ0<時(shí)，△Ф=B·Lx=，得q=，當(dāng)υ0≥時(shí)，△Ф= B·2L2，得q=

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)時(shí)間微元，將變減速直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，列出微元方程，進(jìn)行積分求得結(jié)果。

由于高中數(shù)學(xué)知識(shí)上的局限性，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算的一些物理問(wèn)題，高中學(xué)生很難解決。所以，我們可以通過(guò)選取具有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植客茝V到整體。而這些選取的具有代表性的“元”，可以是一小段線段圓弧（線元）、一小部分質(zhì)量（質(zhì)量元）、一小段時(shí)間（時(shí)間元）或一小塊面積（面積元）等等，它們均具有整體研究對(duì)象的基本特征。

實(shí)踐證明，雖然高中生對(duì)微元法的學(xué)習(xí)感到困難，但利用“微元法”能夠豐富學(xué)生處理問(wèn)題的手段，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。只要我們利用好教材所提供的素材，在平時(shí)的教學(xué)中開(kāi)展好學(xué)生的探究活動(dòng)，特別是在高三復(fù)習(xí)中結(jié)合數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)和積分的知識(shí)，學(xué)會(huì)利用微元法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這樣學(xué)生會(huì)逐步學(xué)會(huì)利用物理科學(xué)方法分析解決問(wèn)題、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問(wèn)題的能力。