“再創造”思想在數學教學中的應用

摘 要：在數學教學中運用“再創造”思想可較好地培養學生的創新思維。在其實際應用中，可通過：改變問題情景，對例題進行再創造；關注數學現實，對概念進行再創造；補充教材內容，對公式進行再創造；利用變式訓練，對習題進行再創造；開展探究教學，對學習方法進行再創造。

關鍵詞：數學教學；再創造；教學原則；數學思想；思維活動

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2012）09-0051-03

“再創造”教學是以荷蘭數學教育家漢斯·弗賴登塔爾為代表所倡導的教學原則。弗賴登塔爾認為：學習數學的唯一正確方法是實行“再創造”活動，也就是說，由學生本人把學習的東西自己實現或創造出來，教師的任務就是為學生的發展、創造提供自由廣闊的天地，就在于引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法，培養學生的創造力。“再創造”教學原則是在充分肯定學生是學習主體的前提下，注重激發學生的學習動機，使學生在老師的指導下積極主動地參與知識的發現，親身體驗知識創造的經歷，從而達到培養學生的創造能力，使所學的知識達到內化的目的。“再創造”教學原則的運用，強調的是學生的自主性和創造性，注重的是學習方法的遷移和認知結構的拓展，使原來僅停留在思維層面的訓練提升到了促進素養層面的發展，在實施素質教育的今天，顯得尤其必要。下面筆者結合自己的教學實踐談談在數學教學中如何運用“再創造”思想。

一、改變問題情境，對例題進行再創造

新課標指出：“教師不能只成為課程實施的執行者，應該成為課程的建設者”；教材不是唯一的課程資源，教師應該“用教材教，而不是教教材”。作為日常教學藍本的教材所承載的數學往往是一種介乎學術形態與教育形態之間的“過渡形態”，有些甚至與學生易于接受的教育形態相去甚遠。這就要求教師在努力準確把握教材的基礎上，應根據學生的實際認知水平與已有的認知經驗、教學條件與環境，適時地對教材進行再創造。在教學中，我們要盡量選擇更好的、更切合所教班級學生的教學材料。可根據學生學情的不同，將課本中的例題進行再加工，以實現因材施教。如在人教版必修“簡單的線性規劃問題”中，教材以引例“工廠日生產安排”這個具體的線性規劃問題引入。但這個問題是線性規劃問題中的整點問題，對于沒有接觸過線性規劃問題的學生，讓其直接研究整點問題有一定難度。該例與學生的認知水平有一定落差。我將此題改為股票問題：“某投資人打算投資甲乙兩種股票，甲乙股票可能的最大盈利率分別為50%和100%，可能的最大虧損率分別為10%和30%。若投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對兩種股票各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？”股票問題是當今現實生活中的熱門話題之一，學生感興趣；同時它又是一個比較簡單的線性規劃問題，借此清楚地闡述線性規劃問題的有關概念，學生能夠較好地理解接受。

二、關注數學現實，對概念進行再創造

每個學生都有自己的“數學現實”，其中包括每個學生所接觸的客觀世界中的數學規律以及有關這些規律的數學知識結構。在概念教學中，“再創造”教學應該充分關注學生的“數學現實”，根據學生實際擁有的“數學現實”，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，才能收到實效。例如，在學習“兩條異面直線所成的角”這一概念的教學中，教師提出問題：空間不重合的兩條直線的位置關系有哪幾種？由平面幾何知識已知：兩條相交直線的相互位置關系是用它們所成角的大小來描述的，兩條平行直線的相互位置關系是用它們的距離來描述的（學生已有的“現實”），那么兩條異面直線的相互位置關系應該用怎樣的量來描述呢？通過動態演示，說明要刻畫兩條異面直線的位置，不僅涉及“角”，同時還要涉及“距離”。那么，如何尋找一個合適的幾何量來刻畫兩條異面直線的傾斜程度和遠近程度呢？由此引出課題，學習“兩條異面直線所成的角”。引入過程：①兩條直線相交就構成角，而兩條異面直線不相交，哪來的“角”呢？如何規定兩條異面直線所形成的角呢？②能否找出兩條相交直線所形成的角來表示兩條異面直線所形成的角呢？用動畫給予演示：在空間任取一點O，過O作a′∥a，b′∥b， a′與b′所成的銳角（或直角）就是a，b所成的角嗎？③a與b所成的角與點O的位置選擇有關嗎？為什么？啟發學生根據等角定理，說明這些角都相等。因此，這樣作出的角是唯一的。④根據上面②、③說明兩條異面直線所成的角的大小，是由這條異面直線的相互位置關系決定的，與角的頂點O的位置的取法無關，即這個量是存在的、唯一的。⑤現在我們可以總結出兩條異面直線所成的角定義，請同學們總結一下，該怎樣定義？然后對比課本中的定義。以上教學是從學生已有的“數學現實”出發，重視概念的形成過程，讓學生理解概念形成的背景與思想，而不是將一個現成的定義強加給學生，它是對概念進行“再創造”的教學過程。

三、增加探索空間，對公式進行再創造

四、利用變式訓練，對習題進行再創造

改變求解條件，可得：

同時改變求解條件和結論，可得：

進一步地，將上題中的垂直條件去掉，即∠F1PF2為鈍角或銳角時，那么△F1PF2的面積又是多少呢？如：

把原題中的焦點改為x軸上一般的關于原點對稱的點，得到：

若將橢圓的方程一般化，得出：

以上從習題的特征出發，對其作適當引申、推廣、探索、創新，尋求一般方法、規律。通過上述研究題目訓練，激發學生的創新思維，有利于提高學生的素質。新時期的數學教師，必須不斷轉變教育思想、理念，與時俱進，勇于開拓，把培養創新人才作為我們的教育目標，將創新教育落實到課堂中去，讓我們的學生不僅會繼承，更能發展、創新。

五、開展探究活動，對學習方法進行再創造

數學思維問題是數學教學中的核心問題。要使學生掌握數學知識并培養能力，發展智力，就不僅需要學習數學知識本身，更重要的是學習獲得這些知識的思想和方法。高中數學課程應力求通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。教學中我著重從以下兩個方面進行了嘗試：一是通過類比聯想培養學生的“再創造”意識。例如，在立體幾何學習的初期，學生的空間想象能力比較差，為了培養他們的空間想象能力，我讓學生研究了如下一組問題：題組1一條直線最多將平面分成幾部分？二條直線最多將平面分成幾部分？三條直線最多將平面分成幾部分？n條直線最多將平面分成幾部分？

題組2一個平面最多將空間分成幾部分？二個平面最多將空間分成幾部分？三個平面最多將空間分成幾部分？n個平面最多將空間分成幾部分？

題組2類比題組1進行研究，這種類比是一種形式上和思想方法上的類比，通過類比研究，學生不僅鞏固了已有的知識，而且得到了新的結論。在研究的過程中，他們體會到了數學新知識和新結論產生的過程，并學習到了“創造”新的數學知識的方法和途徑。

二是滲透化歸思想。化歸思想是數學思想方法體系中的精髓。把一個復雜的、陌生的、未知的問題轉化為簡單的、熟悉的、已知的問題來解決的思想稱為化歸思想。化歸是人類探索未知、認識世界的一種重要思想方法。中學數學中，如代數中的多元到一元，高次到低次；幾何中空間到平面，高維到低維，曲線到直線；微積分中無限到有限，多元積分到一元積分等，無不蘊含著化歸的思想。數學教學中，針對學生認知結構特點逐步滲透化歸思想，對增強學生創造性學習知識的能力和培養學生的創造思想都具有重要作用。

例如，已知x2+y2=4，求3x+4y的最小值。學生經過自主探究、小組討論，充分利用化歸思想方法，得出了以下五種解法。

解法1 按常規思想，要討論一個函數的最大（小）值，首先應減少變量個數，此題若從x2+y2=4入手，解出x或y，代入3x+4y，則可用導數的方法求出最小值。

解法2 令3x+4y=t，與x2+y2=4聯立，消去y，整理成關于x的一元二次方程，用判別式法討論t的取值范圍，從而求出最小值。

教師要著重啟發學生從不同角度認識問題的本質，培養學生多角度思考問題的習慣，多角度地理解和掌握各部分知識和聯系，使學生的思維向靈活多變的方向發展，這樣才能使學生的思維活動打破常規，自己提出解決問題的方法，通過這樣的再創造，能提高和發展學生思維的獨創性。

總之，教師要用“創造性的教”為學生“創造性地學”創造環境和條件，讓學生參與探索、發現、研究的過程，并在這一過程中激發學生發現和創造的興趣，讓學生體驗作為學習主體進行探索、發現和創造的樂趣。

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