關注概念形成，讓思想自然流淌

摘 要：通過“認識直棱柱”的概念引入、形成、拓展的教學，可使學生在學習過程中提煉、感悟數學思想方法。在概念引入時培養“合情合理”的數學思想，在概念形成過程中培養“情理交融”的數學思想，在概念拓展應用的過程中培養數學思想和方法。

關鍵詞：認識直棱柱；概念引入；概念形成；概念學習；教學反思；數學思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2012）09-0048-03

一、問題的提出

“認識直棱柱”是義務教育課程標準實驗教科書《數學》（浙教版）八年級上冊第3章第1節第1課時的內容。它是學生在小學階段學習了長方體、正方體，初中階段學習了點、線、面、體、幾何圖形等基本概念的基礎上提出來的，是進一步聯系平面圖形和空間圖形的橋梁。本節課要求學生通過觀察生活中常見的幾何體，從生活中常見的幾何體抽象概括出一類幾何體的共同特征，形成多面體、棱柱、直棱柱等相關概念，探索并掌握直棱柱的性質特征。在活動中使學生感受隱含在知識之中的思想方法——特殊到一般和一般到特殊的思想，分類討論思想，類比思想等。它不但對培養學生觀察能力和歸納能力有幫助，而且對培養學生合作意識、表述數學思想和成果的能力也有重要作用，同時也是促進學生形成良好的個性品質、進行量變到質變等辯證唯物主義教育的一個良好素材。為了真正感知隱藏在數學概念教學中的常見數學思想，我們以“認識直棱柱”的教學片段為例，對概念教學中進行數學思想滲透、提煉、強化的探析。

二、教學過程剖析

（一）在概念引入時滲透數學思想

片段一

師：同學們，今天海綿寶寶給各位帶來了什么禮物？（大屏幕展示）

生：（興奮地）魔方、玩具盒、可樂、球、鉆石……

師：生活中的實物都可以抽象出對應的幾何圖形，比如海綿寶寶給我們長方體的印象。你能說出其余物體對應的幾何體嗎？

生：魔方給我們正方體的印象，可樂給我們圓柱體的印象，籃球給我們球體的印象……

師：在七上的幾何圖形的教學中，我們已經知道幾何體是由點、線、面、體組成的，你能根據你的觀察試著將它們分類嗎？

生：（竊竊私語討論）正方體、長方體是有棱有角的，各個平面都是平的，而圓柱、球給我們以曲面的感覺……

點評：幾何中的點、線、面、體等基本概念多是從形狀及大小、位置關系中抽象出來的，這些概念的形成，往往可以通過依賴生活中常見的豐富原型，通過感知、運用比較、分析、綜合、抽象、概括等一系列邏輯方法，抓住對象最主要的本質屬性而產生概念，所以引入概念必須滲透“感知、比較、分析、抽象、概括”這些廣義的數學思想。奧蘇伯爾提出“先行組織者能激活認知結構中已具備的相關知識，使學生認識到他們之間的聯系”。由于八年級學生對生活中的立體圖形接觸較少，空間想象能力較弱，而多面體在生活中普遍存在，通過身邊熟悉具體的現實原型引入，引導學生聯系概念的原型，觀察和分析實物模型，從中獲得研發認識，逐步認識它的本質屬性，讓學生去挖掘多面體的概念的形成，同時在分類思想的立意下，借助七上幾何體中面的分類情況（曲面和平面），使學生對構成幾何體的面的情況進行分類，對引入多面體的概念，有一種一氣呵成的感覺。

（二）在概念形成中提煉數學思想

片段二

師：在小學階段我們已經學習過長方體，我們知道了長方體的一些基本要素：面、頂點、棱，類同地，我們可得到多面體中的一些基本要素，你能給多面體的一些基本要素命名嗎？

生：我們把多面體相鄰兩個面之間的交線叫做棱，幾個面的公共頂點叫做多面體的頂點。

師：（辨一辨，大屏幕展示）下面的幾何體是多面體嗎？為什么？

之后教師引導學生觀察幾何圖形的大家庭中的典型圖形，并且將它們進行分類：引導學生思考，先辨別出圓柱、圓錐、球體等，形成多面體的支架，然后在此基礎上抽象出特殊的一類多面體——棱柱，之后形成棱柱的概念。

點評：數學概念的形成是整個概念教學至關重要的一步。課堂教學中重要的不是老師講了多少，而是學生思考了多少。倘若我們在這一環節強行地將一些新的數學概念灌輸給學生，則嚴重地阻礙學生形成正確的數學觀，影響了學生學習能力的發展。小學時已經形成對長方體、正方體的基本認識，在類比數學思想的立意下，學習特殊幾何體——多面體時，如何按照正方體的基本要素類比得到多面體的基本要素，如何利用上位知識得到知識結構、學習內容的類比、更為突出的是研究方法的類比。通過類比使學生形成有序的知識鏈條，建立良好的認知結構；通過類比讓學生明確上位知識和下位知識的聯系，可從上位的學習中形成研究概念的基本套路，形成對數學思維策略的引導。不僅有助于引導學生感悟數學，更有助于學生創新精神和求異思維的培養。

（三）在關注聯系的過程中強化數學思想

片段三

師：有了以上這些基本要素，我們對于直棱柱的認識就方便多了，同學們能借助這些基本要素的特征來認識一下直棱柱嗎？（同時結合身邊的模型——“班牌”）引導學生從直棱柱的底面、側面、側棱三方面進行歸納，并得出直棱柱的性質。

數學思想具有過程性的特點，必須有學生身體力行的實踐，從自己親身實踐的探索思考過程中獲得體驗，從自己不斷深入的概括過程中，獲得對數學思想的感悟。通過對直棱柱的基本要素的鋪墊，使學生對于直棱柱性質的探索，方向明確，分類標準清楚，并且使學生易于表達。

師：在七上的教學中我們已經知道，點、線、面、體形成了豐富多彩的世界，請同學們思考以下問題：

問題串一1.Rt△ABC繞直角邊AB旋轉一周所形成的幾何體是什么？

2.Rt△ABC沿直角邊AB方向平移得到的幾何體是什么？

3.Rt△ABC繞斜邊AC方向平移得到的幾何體是什么？

（通過幾何畫板演示，抽象出幾何圖形）

問題串二1.長方形ABCD繞邊AB旋轉一周所形成的幾何體是什么？

2.長方形ABCD沿AB方向向上平移得到的幾何體是什么？

3.長方形ABCD沿對角線AC方向平移得到的幾何體是什么？

（通過幾何畫板演示，抽象出幾何圖形）

問題拓展：如果是五邊形、六邊形，……n邊形呢？進一步驗證直棱柱的底面、側面、側棱三方面的性質。

點評：新《數學課程標準》中說“有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動”，所以無論是從特殊到一般的數學知識的歸納形成過程，還是從一般到特殊的數學知識的驗證應用過程，教師作為合作者、引導者，都應該提供足夠時間和空間，讓學生主動去從事各種數學活動，只有這樣才能突出學生的主體地位，獲得明顯的教學效果。為了抓住概念間聯系，進一步提升上位知識點的特征——面運動形成體的過程，本片段通過多邊形沿鉛垂線方向平移形成直棱柱，多邊形沿著與鉛垂線成某一夾角的方向平移得到斜棱柱。在這個過程中，并沒有直接把結果“拋”給學生，而是讓學生去探索、交流、歸納，經歷從特殊到一般的知識形成過程，從運動的視角將直棱柱、斜棱柱的概念進行辨析，既促進了學生創造性思維的形成，也培養了學生的創新能力。

（四）在反饋練習中體驗數學思想

片段四 從家中一個直五棱柱的首飾談起（實物展示）：

1.它是一個什么樣的幾何體？

它可以看作是一個直四棱柱截去一個直三棱柱嗎？

2.你知道怎樣計算其底面積嗎？

3.它的體積又怎樣計算？

4.把直五棱柱看作是怎樣的直四棱柱組成的，還可以怎么剪切？

5.你還可以將直五棱柱看作是其余的的直棱柱的組合嗎？

點評：由于此范例是如何描述一個物體的形狀，把它看成怎樣的兩個幾何體的組合，都需要一定的空間想象能力和表達能力。因而是本節課的難點，要將難點突破，關鍵是要學會轉化，轉化的思想應用于數學學習的各個領域，但不管在哪方面，它都是以已知的、簡單的、具體的、基本的知識為基礎，將未知的化為已知的，復雜的化為簡單的，抽象的化為具體的，一般的化為特殊的，非基本的化為基本的，從而找到正確的解決方法。

三、在教學反思中領悟數學思想的升華

（一）以概念引入為契點，培養“合情合理”的數學思想

數學概念是人對客觀事物中有關數量關系和空間形式方面本質屬性的抽象，對某個數學概念的認識應建立在對一類事物共同屬性認識的基礎之上。

概念形成一是可借助現實原型引入，即教師引導學生聯系概念的原型，從中抽象出幾何基本圖形，引導學生觀察、思考它們的共同特點，使學生在這些典型、豐富且合乎實際的感性材料的基礎上，獲得對多面體本質屬性的初步認識。通過生活中熟悉的素材，設置符合“常情”的教學情境，不僅賦予了“直棱柱”概念的現實背景，也使學生感悟到學習“多面體”概念的必要性，明白了學習的“道理”。

二是可以通過知識發展的需要引入，學習一個新的數學概念，還應該把這個概念放到相應的概念體系中，考察它的“來龍去脈”，即分析學習這一概念需要怎樣的基礎，知道掌握它以后可以做什么。初一的教學中，學生已經具備了幾何圖形等概念的研究方法，所以對于多面體概念引入時可采用內涵定義法，即“類差+種概念=被定義的概念”，在多面體的定義中，大前提是“幾何圖形（種概念）”，條件是“由若干個平面圍成（類差）”。“由若干個平面圍成”的內涵包含了“幾何體”所有的內涵，而“由若干個平面圍成”是多面體所獨有的、用以區別于一般幾何體的本質屬性。因此，教學中教師只要抓住種概念（幾何體）的類差（由若干個平面圍成），引導學生思考“一個幾何體具備了什么特征才是多面體”，就可以自然地使學生建立起對新概念（多面體）的本質屬性的理解。可見，從數學知識發展的需要出發，對“概念體系”進行分析，可以了解到概念間的從屬關系，形成明晰的知識結構，并清晰地認識到學習“多面體”概念的“合理性”。

三是可以用類比的方法引入或區分概念。如“直棱柱、斜棱柱”是特殊的多面體，在學習了“多面體”的概念之后，再附加條件“直觀特征”就可以對應得到“直棱柱”、“斜棱柱”的模型。以上幾種模型是常見的概念引入方式，而這幾種概念引入的方式 往往伴隨著常用的思想方法的體驗和“合情合理”問題情境的創設。

（二）以概念形成為手段，培養“情理交融”的數學思想

幾何概念無外乎從位置關系和數量關系兩個角度進行刻畫。“直棱柱”性質中的“相鄰兩條側棱互相平行且相等”，是從“位置和數量關系”出發，刻畫了“邊”的本質屬性。在研究直棱柱“邊”或“角”的數量關系時，我們不妨通過引導學生從實物原型出發，經歷觀察、猜想、實驗、概括直至論證的過程，一方面，突出合情推理在解決問題中的作用，詮釋“實驗幾何”與“論證幾何”相輔相成的關系；另一方面，可以使學生對直棱柱的概念理解得更加深入，即“直棱柱相鄰兩條側棱互相平行且相等”，相對于直棱柱的直觀感知，是由位置關系向數量關系的一種延伸，“直棱柱相鄰兩條側棱相等”，相對于“直棱柱相鄰兩條側棱互相平行”，是由“位置關系到數量關系”產生思維的一種深化。

具體操作可以考慮以下方面：①通過學會觀察、歸納，通過觀察發現共性的東西；②注意理解所學概念的來龍去脈，這個概念討論的對象是什么？有何背景？有哪些限制條件、哪些特殊規定？學習這個概念有什么意義？除老師及教材所下的定義外，試試能否用自己的語言來表述；③注意有沒有其他等價的說法，為什么等價？應用時應如何處理這個等價轉換？相應的符號能否記牢，符號的讀法、表示法會不會；④概念的名稱、進行表述時的術語有什么特點？根據概念中的條件和規定，可以歸納出哪些基本的性質？這些性質又分別由概念中的哪些因素（或條件）所決定？它們在應用中起什么作用？能否派生出一些數學思想方法？⑤回憶過去學過的概念中，有沒有相近、相似，容易混淆的地方？它們與過去學過的概念有什么聯系？注意它們之間的區別，應當如何強調這些區別；⑥根據所理解的定義，舉出實際的例子。

（三）以概念學習為形，培養數學思想和方法為魂

數學思想和方法是數學科學發展長河中無數數學家的智慧結晶，它是度量一個人數學素養高低的重要指標，數學思想方法，既誕生于問題解決的過程中，又應用于解決問題的過程中，是指導問題解決的重要策略，因此，作為數學問題解決的策略，數學思想方法常常出現在問題解決的始點或初始階段。對于數學思想要具體問題具體分析，要從學生解決問題過程中的思維起點加以分析，從中了解指導思維活動的具體思想方法，以此確定思想方法究竟在什么時候發生了，并對問題解決產生影響。數學概念是諸量關系的反映，諸量關系聯系的形態是什么樣的？怎么樣找出揭示諸量之間聯系的途徑？要解決這些問題，一般都需要學習者的心理能力中有著厚重的數學思想和方法。因此以概念學習為載體，設計數學思想和方法的教學是概念教學中的一個基本立足點。

參考文獻：

[1]全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]義務教育課程標準實驗教科書《數學》（八年級）（上）[M].杭州：浙江教育出版社，2006，5.