讓法則成為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)

摘 要：有理數(shù)乘法教學(xué)的本質(zhì)是：寫出反映現(xiàn)實(shí)情景問(wèn)題的具有邏輯意義的算式；對(duì)具有邏輯意義的算式進(jìn)行歸納概括。詳細(xì)的教學(xué)步驟應(yīng)為：創(chuàng)設(shè)一個(gè)生動(dòng)、有趣的情景；從情景中提出問(wèn)題；寫出反映問(wèn)題的有邏輯意義的算式；對(duì)算式進(jìn)行歸納概括；讓法則成為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：有理數(shù)乘法；教學(xué)設(shè)計(jì)；邏輯意義；算式；歸納活動(dòng)；學(xué)生的發(fā)現(xiàn)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2012）09-0045-03

在一次培訓(xùn)會(huì)上，許多教師向?qū)＜姨岢鋈绾芜M(jìn)行“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)，專家要求大家首先要研究教科書。

我們考察多種版本的教科書，不同的教科書有不同的設(shè)計(jì)，但研究發(fā)現(xiàn)它們有共同的規(guī)律，都是首先使有理數(shù)乘法算式具備邏輯意義。

一、各版本教科書對(duì)有理數(shù)乘法的設(shè)計(jì)

（一）人教版教科書以“如圖，一只蝸牛沿直線l爬行，它現(xiàn)在的位置恰在l上的點(diǎn)O。”

一句簡(jiǎn)短的語(yǔ)言交待了問(wèn)題的情景。在這個(gè)情景中，有學(xué)生熟悉的時(shí)間、速度和距離及其數(shù)量關(guān)系（時(shí)間×速度=距離）。交待了一個(gè)時(shí)間軸，一個(gè)距離軸，并且把兩個(gè)軸的原點(diǎn)重疊在了一起。正因?yàn)橛辛恕艾F(xiàn)在”，所以相對(duì)“現(xiàn)在”才有了“現(xiàn)在”之前和“現(xiàn)在”之后，有了用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示的時(shí)間。正因?yàn)橛辛宋伵！扒≡趌上的點(diǎn)O”，在點(diǎn)O 左右的距離，才具有了相反的意義，有了用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示的距離。“沿直線l爬行，”自然會(huì)有向左爬行或向右爬行，為了區(qū)分開(kāi)向不同方向的爬行，學(xué)生自然會(huì)想到用正數(shù)和負(fù)數(shù)表達(dá)。

面對(duì)此情景，教科書提出了四個(gè)問(wèn)題：

⑴如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向右爬行，3分鐘后它在什么位置？

⑵如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向左爬行，3分鐘后它在什么位置？

⑶如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向右爬行，3分鐘前在什么位置？

⑷如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向左爬行，3分鐘前在什么位置？

教科書進(jìn)行了規(guī)定：向左為負(fù)，向右為正，“現(xiàn)在”前為負(fù)，“現(xiàn)在”后為正。

對(duì)以上四個(gè)問(wèn)題，分別用下面四個(gè)算式表達(dá)：

⑴3分后蝸牛在l上點(diǎn)O右邊6cm處，這可以表示為（+2）×（+3）=6.

⑵3分后蝸牛在l上點(diǎn)O左邊6cm處，這可以表示為（-2）×（+3）=-6.

⑶3分前蝸牛在l上點(diǎn)O左邊6cm處，這可以表示為（+2）×（-3）=-6.

⑷3分前蝸牛在l上點(diǎn)O右邊6cm處，這可以表示為（-2）×（-3）=6.

先有事實(shí)，后有表示事實(shí)的算式。四個(gè)算式是對(duì)四個(gè)事件數(shù)量關(guān)系的真實(shí)表達(dá)，于是，這四個(gè)算式就都具有了邏輯意義。

寫出了有邏輯意義的算式后，設(shè)計(jì)對(duì)算式的歸納活動(dòng)。歸納活動(dòng)緊緊抓住符號(hào)變化情況；緊緊抓住乘積的絕對(duì)值與各乘數(shù)絕對(duì)值之間的關(guān)系。

于是，有理數(shù)乘法法則才能作為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)概括出來(lái)：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同零相乘，仍得零。

（二）河北版教科書也是從交待情景開(kāi)始

“測(cè)量某校實(shí)驗(yàn)樓的樓梯得知，每一級(jí)臺(tái)階的高度都是15厘米”。之后展開(kāi)規(guī)定：

1.大廳高度為0，——規(guī)定原點(diǎn)；

2.從大廳上樓為正，從大廳下地下室為負(fù)——規(guī)定方向；

由上面的活動(dòng)，幫助學(xué)生建立了帶有實(shí)際意義的數(shù)軸。明確了原點(diǎn)、方向和單位。

然后，從情景中提出問(wèn)題：

小亮從一樓大廳向樓上走1、2、3、4級(jí)樓梯時(shí)，分別用算式表示小亮所在的高度。

大華從一樓大廳向地下室走1、2、3、4級(jí)樓梯時(shí)，分別用算式表示大華所在的高度。

針對(duì)問(wèn)題，讓學(xué)生用算式表達(dá)各個(gè)高度。

小亮所在的各個(gè)高度是：

15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60.

大華所在的各個(gè)高度是：

（-15）×1=-15， （-15）×2=-30，

（-15）×3=-45， （-15）×4=-60.

上面的算式，學(xué)生用學(xué)過(guò)的有理數(shù)加法容易獲得理解，15+15+15+15=15×4=60，（-15）+（-15）+（-15）+（-15）=（-15）×4=-60。與人教社的設(shè)計(jì)相同，先有事實(shí)，后有表示事實(shí)的算式。八個(gè)算式是對(duì)八個(gè)事件數(shù)量關(guān)系的真實(shí)寫照，于是，這八個(gè)算式就都具有了邏輯意義。

寫出了有邏輯意義的算式后，設(shè)計(jì)對(duì)算式的歸納活動(dòng)。與人教社所不同的是有理數(shù)乘法法則分兩步完成。

第一步，通過(guò)對(duì)兩組八個(gè)算式的比較，歸納概括出：兩個(gè)有理數(shù)相乘，把一個(gè)因數(shù)換成它的相反數(shù)，所得的積是原來(lái)的積的相反數(shù)。

第二步，演繹上面的概括，對(duì)演繹的結(jié)果再次歸納概括，從而獲得有理數(shù)乘法法則。

（三）北師大版教科書創(chuàng)設(shè)了甲乙兩個(gè)水庫(kù)水位的變化兩個(gè)水庫(kù)，甲水庫(kù)每天升高3厘米，乙水庫(kù)每天下降3厘米。

規(guī)定：升高為正，下降為負(fù)。

情景中回避了用負(fù)數(shù)對(duì)時(shí)間的刻畫。

從情景中提出如下問(wèn)題：

4天后甲乙兩個(gè)水庫(kù)水位的變化量如何，用算式表示。

讓學(xué)生寫出反映問(wèn)題的有邏輯意義的算式。

甲水庫(kù)4天后水庫(kù)的水位變化量用算式表示為：

3+3+3+3=3×4=12。

乙水庫(kù)4天后水庫(kù)的水位變化量用算式表示為：

（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×4=-12。

先有事實(shí)，后有表示事實(shí)的算式。兩個(gè)算式是對(duì)兩個(gè)事件數(shù)量關(guān)系的真實(shí)寫照，于是，這兩個(gè)算式就都具有了邏輯意義。

寫出了有邏輯意義算式后，設(shè)計(jì)對(duì)算式的歸納活動(dòng)。與前兩個(gè)版本的教科書不同，因?yàn)殚_(kāi)始只寫出了兩個(gè)算式，不足以歸納出有理數(shù)乘法法則。教科書由算式（-3）×4=-12，以探究規(guī)律的形式演化出一串變化著的算式。

（-3）×4=-12 （-3）×3=-9 （-3）×2=-6

（-3）×1=-3 （-3）×0=0 （-3）×（-1）=+3

（-3）×（-2）=+6 （-3）×（-3）=+9 （-3）×（-4）=+12

這一串變化的算式脫開(kāi)了“水位變化”的情景，設(shè)計(jì)者要求學(xué)生此時(shí)只關(guān)注算式的變化規(guī)律，對(duì)算式的變化規(guī)律進(jìn)行歸納概括。對(duì)這串變化的算式，學(xué)生在觀察中會(huì)發(fā)現(xiàn)：第二個(gè)因數(shù)每次減小1，而它們的積總是在增加3。如果愿意，按照規(guī)律，算式可以繼續(xù)寫下去。對(duì)足夠多的算式進(jìn)行概括，進(jìn)而得到有理數(shù)的乘法法則。

從對(duì)三個(gè)不同版本教科書的分析研究，發(fā)現(xiàn)有理數(shù)乘法教學(xué)中的共同的本質(zhì)是： （1）從現(xiàn)實(shí)的情景中寫出反映問(wèn)題的具有邏輯意義的算式； （2）對(duì)具有邏輯意義的算式進(jìn)行歸納概括。

不同的是，如果從現(xiàn)實(shí)的情景中寫算式，多花費(fèi)一些氣力，在歸納環(huán)節(jié)上就可節(jié)省一些氣力。相反，如果從現(xiàn)實(shí)的情景中寫算式，節(jié)省一些氣力，那么在歸納的環(huán)節(jié)上就只能多花費(fèi)一些氣力。

把握了其中的規(guī)律，我們就可以自如的對(duì)有理數(shù)乘法教學(xué)展開(kāi)設(shè)計(jì)了。為了便于教學(xué)設(shè)計(jì)，從上面概括出的兩個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，可以進(jìn)一步演化出更細(xì)致的教學(xué)步驟：

⑴創(chuàng)設(shè)一個(gè)生動(dòng)、有趣的情景；

⑵從情景中提出問(wèn)題；

⑶寫出反映問(wèn)題的有邏輯意義的算式；

⑷對(duì)算式進(jìn)行歸納概括，讓法則成為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。

二、探究有理數(shù)乘法教學(xué)的新設(shè)計(jì)

（一）從練習(xí)正負(fù)數(shù)開(kāi)始，夯實(shí)同化新知識(shí)的背景知識(shí)

⒈如果把現(xiàn)在的時(shí)間當(dāng)作分界點(diǎn)，那么，“現(xiàn)在”前與“現(xiàn)在”后就是相反意義的量。規(guī)定“現(xiàn)在”前為負(fù)，“現(xiàn)在”后為正。

請(qǐng)同學(xué)們完成以下任務(wù)：畫數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示現(xiàn)在的時(shí)間、“現(xiàn)在”前3分鐘與“現(xiàn)在”后3分鐘。

⒉如果把一只蝸牛現(xiàn)在的位置當(dāng)作分界點(diǎn)，蝸牛左右的里程就是相反意義的量。規(guī)定：向左為負(fù)，向右為正。

請(qǐng)同學(xué)們完成以下任務(wù)：畫數(shù)軸，并在數(shù)軸上表示蝸牛現(xiàn)在的位置、蝸牛左邊6cm與蝸牛右邊6cm的位置。

3.如果選定上面的圖2，蝸牛的爬行速度是2cm/分鐘，那么當(dāng)蝸牛的爬行的方向與數(shù)軸的方向一致或相反時(shí)，如何用有理數(shù)表達(dá)蝸牛的爬行速度。

答案應(yīng)當(dāng)是：與數(shù)軸的方向一致時(shí)表示為+2，與數(shù)軸的方向相反時(shí)表示為-2。

（二）創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題

1.如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向右爬行，3分鐘后它在什么位置？

2.如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向左爬行，3分鐘后它在什么位置？

3.如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向右爬行，3分鐘前在什么位置？

4.如果蝸牛一直以每分鐘2cm的速度向左爬行，3分鐘前在什么位置？

（三）寫出反映問(wèn)題的具有邏輯意義的算式

我們選用前面的圖1和圖2，輔以說(shuō)明。

對(duì)于問(wèn)題1，“3分鐘后，”可以用 +3表示；“以每分鐘2cm的速度向右爬行”，其中的速度表示為+2。數(shù)量關(guān)系表示為（+2）×（+3），因?yàn)?分鐘后，它在O點(diǎn)的右側(cè)，且距離O點(diǎn)6cm處。所以有等式：（-2）×（+3）=6；

對(duì)于問(wèn)題2，“3分鐘后，”可以用 +3表示；“以每分鐘2cm的速度向左爬行”，其中的速度表示為-2。數(shù)量關(guān)系表示為（-2）×（+3），因?yàn)?分鐘后，它在O點(diǎn)的左側(cè)，且距離O點(diǎn)6cm處。所以有等式：（-2）×（+3）=-6；

同理可寫出其它二式：

（+2）×（-3）=-6； （-2）×（-3）=6.

（四）對(duì)算式進(jìn)行歸納概括，讓法則成為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)把算式的符號(hào)與乘積的絕對(duì)值分開(kāi)研究。

先研究符號(hào)的確定，算式2、3是異號(hào)相乘，積的符號(hào)為負(fù)，所以概括為：異號(hào)得負(fù)；算式1、4，是同號(hào)相乘，積的符號(hào)為正；所以概括為：同號(hào)得正。

再研究乘積的絕對(duì)值，觀察4個(gè)算式，得到：乘積的絕對(duì)值等于各乘數(shù)絕對(duì)值的乘積。

最后得結(jié)論：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同零相乘，仍得零。

這樣設(shè)計(jì)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，使學(xué)生關(guān)注對(duì)新知識(shí)的理解，實(shí)現(xiàn)了把學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程作為學(xué)生的一次再創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，克服只讓學(xué)生被動(dòng)的接受“負(fù)負(fù)得正”的數(shù)學(xué)結(jié)論，把發(fā)展學(xué)生的教學(xué)目標(biāo)落到實(shí)處。