借幾何直觀 促問題解決

幾何直觀是《數學課程標準（2011年版）》提出的十大核心概念之一，主要是指利用圖形來描述和分析問題。幾何直觀憑借圖形的直觀特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，抽象思維同形象思維結合起來，充分展現問題的本質，把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數學理解上的難點，從而有效地解決數學問題。

一、借幾何直觀 促讀懂題意

讀懂題意是學生有效解決問題的第一步，它是指學生用自己的方式重新組織問題情境中的各種信息，根據自身的知識和經驗對有關信息進行分析與整理，明確其隱含的條件及所需要解決的問題。因此，幾何直觀有助于學生更準確、簡單和全面地讀懂題意。

例如，教學北師大版五年級上冊“公因數和最大公因數”一課，可以這樣引導學生讀懂題意：

問題：學校有一間長16分米、寬12分米的儲藏室要鋪地磚，為了能鋪得整齊、美觀、節約，你認為地磚的邊長可以是多少分米？（地磚邊長是整分米數）

引導：你能讀懂題目的意思嗎？請用圖表示你是怎么理解的。

展示：教師選擇三種有代表性的圖示（如下圖）。

觀察并分析：地磚的邊長可以是幾分米？

思考：地磚的邊長與長方形的長、寬分別有什么關系？

利用幾何直觀，教師幫助學生很快地理解了“地磚的邊長就是12和16的公因數”。

二、借幾何直觀 明解題緣由

借助幾何直觀，利用圖形來描述和分析數學問題，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過圖形的直觀性質來闡明數量之間的聯系，將數學問題轉化成直觀、形象的圖形，能幫助學生具體生動地分析數學問題，明晰解題思路，曉解算法算理，有效估檢結果，切實提高解決問題的實效性。

（一）幾何直觀，利于明晰思路

小學生的思維特點是形象思維發達，抽象思維還不夠成熟，根據這一思維特征，運用直觀化工具，可以把抽象、復雜的數學問題有效地轉化為直觀、形象的圖形，解題思路就更加一目了然，不同層次的學生或許能獲得屬于自己理解的一種解題方法。如“畫線段圖”的方法應是解決分數、比等相融合的數學生活問題的一種重要策略，若能進行長期的強化應用，大多數學生應能借助“畫線段圖”這種直觀化的解題策略來分析數量關系，明晰解題思路，從而提高解決問題的能力。

例如，有這樣的一道題目：在“五一”節的三天假期里，笑笑讀了一本故事書，第一天讀了全書總頁數的頁，第二天和第三天讀的頁數比是4∶3，第二天比第三天多讀16頁，請問這本故事書共有幾頁？

這類題型，教師可引導學生畫“線段圖”進行分析。

學生借助直觀化的“線段圖”理清了解題思路，用歸一法列式解答：

（二）幾何直觀，利于曉解算理

數學學習包含著一個轉譯的過程，將文字轉譯成數學符號，或將圖形轉譯成數學符號，或將文字轉譯成圖形。在這個轉化過程中，不同思維層次的個體呈現出的理解程度是不同的。幾何直觀則是發揮“數學符號”與“圖形”的互補優勢，讓學生在具體而生動的情境中理解新知識，從直接感知到生成表象，再到形成概念的過程，并從中獲取解題的方法。在計算教學中，教師若能合理、恰當地借用幾何直觀，清楚地揭示計算過程，則可以幫助學生結合圖形理解和感悟計算方法。

例如，教學北師大版五年級下冊“分數乘分數”內容時，可充分利用圖形的優勢，將比較抽象、枯燥的內容直觀化，使學生對分數乘分數的計算方法有直觀的體驗。

引入：創設情境，引入算式： 。

思考操作：請在長方形紙中涂出 。

交流：展示并講評下圖。

思考：對比這兩種不同的涂法，你有什么發現？

生：兩幅圖中的斜線陰影部分都表示長方形紙的 。

生：第一幅是先涂，再涂的；第二幅圖是先涂，再涂的。這兩種方法涂出的斜線陰影部分都是8份中的3份，也就是。

梳理：結合圖形，說說算式×＝中的是怎么來的？

思考：你認為分數乘分數的計算方法是怎樣的？

驗證：同學們發現的計算方法對其他分數乘式適用嗎？請結合圖形來驗證一下！

在這樣一個直觀化的圖形操作與思維碰撞過程中，教師將數學符號轉化為圖形語言，再轉化為數學符號語言，把數與形相對應，以問題為引導，借助幾何直觀，幫助學生真正理解了“分數乘分數”的算理。

（三）幾何直觀，利于有效估測

預測結果，是新課程理念十分重視的估算的一個重要方面，主要是分析和處理各種已知的條件和信息，根據各種數量間的關系，靈活運用已有知識和經驗，對結果進行正確預測。學生的預測能力不強，主要是因為缺少細致分析數量關系的習慣和有利于正確預估的工具。圖形具有直觀入微的特性，在解決問題時有利于學生對結果的正確預判，提高解決問題的能力，發展數感和空間觀念。

例如，有一道選擇題：在一個長6分米、寬4分米、高5分米的長方體中，最多能放入（ ）個棱長為2分米的小正方體。

A.12 B.13 C.14 D.15

練習后的結果是大部分學生都選D，其解題思路為大體積除以小體積，列式為：

6×5×4÷（2×2×2）＝15（個）

而后，教師請學生畫一幅圖來證明自己的思路與觀點，學生作圖并展示（如右圖），還原了問題的真相，得出正確結果是12個。在教師的引導下，學生經過進一步的交流、討論，發現解決此類問題選擇哪種解題思路還應看兩個物體棱長之間的倍數關系。

幾何圖形具有直觀、形象、具體的優勢，是幫助學生進行正確預測的有力工具。在平常教學中，注重培養學生幾何直觀的應用意識，讓學生真正做到見數思形、以形助數、以數輔形，定能提高其有效估測的能力和解決問題的能力。

三、借幾何直觀 降解題難度

在解決問題的過程中，學生的思維遇到了障礙，就形成了難點。化解難點首先要做的就是分解難點，做到化難為易，由淺入深，形象直觀。學生不能熟練地化解難點的重要原因之一是不能自如地將抽象的內容具體化、形象化、直觀化，幾何直觀能化抽象為具體，化繁雜為明簡，變生疏為熟悉，變深奧為淺顯。

例如，著名特級教師朱德江在教學北師大版五年級上冊的“小數點搬家”時的精彩片段：

引導學生用原有的知識和經驗，如“元、角、分”和“小數的意義”等知識來說明“0.1是0.01”的10倍，從而理解知識并初步得出結論：小數點向右移動1位，得到的數是原數的10倍。而后，朱老師拋出一個問題請學生思考：小數點向左移動一位，數的大小會有什么變化呢？

生：縮小了，縮小10倍。

生：0.1里有10個0.01，10個0.01是0.1。

因學生的分數知識儲備只是對分數的初步認識，理解起來不太容易，所以“小數點向左移動引起小數大小的變化情況”是本課的教學難點。學生在學習過程中遇到了障礙，此時，朱老師請學生拿出準備好的百格圖。

師：請在百格圖中表示出0.1和0.01。（生完成后，如上圖）

思考：0.01是0.1的（ ）。

結合百格圖，學生在交流中較易小結出：小數點向左移動一位，得到的數是原數的___倍。

朱老師在引導學生探索“小數點位置移動引起小數大小變化” 規律的過程中，利用百格圖等直觀化方法幫助學生突破理解難點——“小數點向左移動一位，得到的數是原數的多少倍”。通過變更語言敘述，借助幾何直觀化解難點，幫助學生達成“知其然而知其所以然”，有效地解決了數學問題，并促進了學生的數學理解。

四、借幾何直觀 增解題策略

直觀是抽象思維問題的信息源，也是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認知結構中鮮明性強，可以多思路、多角度地給抽象思維以技巧。直觀圖形的有效使用，通過直觀性質來闡明數之間的聯系，實現代數問題與幾何圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明了，還開拓解題思路，培養創造性思維，為多樣化解決數學問題開辟了重要的途徑。

例如，教學北師大版五年級下冊“有趣的測量”后的一道練習：一個棱長為10分米的正方體容器，里面裝有深8分米的水，現將一個長、寬、高分別為7分米、6分米和5分米的長方體鐵塊完全放入水中，水會溢出嗎？

在交流過程中，學生一致反饋一種解題方法：比較水的體積和鐵塊的體積之和與正方體容器的容積的大小，據此判斷水會溢出，列式解答即為：

10×10×8＋7×6×5＝1010（立方分米）

10×10×10＝1000（立方分米）

1010>1000

為發展學生的空間觀念，培養多角度分析問題和解決問題的能力，出示直觀提示圖（如下圖）。

思考：是否還有不同的解題思路？

生：在觀察圖片時，我想到了另一個辦法，就是比較長方體鐵塊的體積和正方體容器剩余部分的體積，長方體鐵塊體積更大，所以水會溢出。列式為：

10×10×（10－8）＝200（立方分米）

7×6×5＝210（立方分米）

210>200

生：我認為也可以比較長方體放入水中后水面上升的高度和正方體容器剩余部分的高度，列式為：

7×6×5÷（10×10）＝2.1（分米）

2.1>2

借助于直觀圖形，學生的思維突破了枷鎖，嘗試從多角度分析與思考問題，找到了解決問題的多種方案，在享受成功喜悅的同時，發展了創新思維和空間觀念，提高了解題能力。

不難看出，幾何直觀確實是解決問題的好“抓手”。同時，幾何直觀對于學生學習數學的幫助也遠不止上述幾個方面，作為教師，我們應充分發揮幾何直觀的作用，在日常教學中適時滲透以培養學生運用“幾何直觀”解決問題的意識和能力，在習題設計時有意識地培養學生運用“幾何直觀”解決問題的習慣和能力，讓“幾何直觀”貫穿在整個數學學習中，促使學生更好地領悟其精髓并加以靈活運用，切實提高解決問題的能力。

（浙江省常山縣實驗小學 324200）