“1”從哪里來

一、疑團呈現

植樹問題是一個典型的數學問題，現行人教版教材把它作為數學廣角的內容編入四年級下冊。教學中很多教師對于“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”這樣三種情況的區分予以了特別關注，為了提高解決問題的正確率，他們往往要求學生牢牢地記住相應的“計算公式”（“加1”“不加不減”“減1”），但實際情況卻并非教師想象中的那么順利與簡單。

【現象一】

在“兩端都栽”的情況下，研究間隔數與棵數的關系。學生經歷了操作、驗證后，大部分學生回答：間隔數+1=棵數。

師(小結)：好，我們就可以用“間隔數+1=棵數”的方法來解決“兩端都栽”的植樹問題，請大家嘗試解決以下問題。

教師出示下列問題：

1.在一條全長2千米的街道一旁安裝路燈（兩端都安裝），每隔50米安裝一座。一共要安裝多少座路燈？

2.園林工人在一條長36米的公路一側植樹（兩端都栽），每隔6米種一棵，一共種了多少棵？

3.一條長500米的街道兩邊，每隔10米插一面彩旗，從頭到尾一共要插多少面？

【學習效果】

【現象二】

在教學了植樹問題關于“兩端都栽”“兩端都不栽””只栽一端”三種情況后，教師組織了以下練習：

為慶祝“六一”兒童節，學校布置環境：

1.老師帶領學生沿校門口街道的一邊掛燈籠，街道全長200米，每隔4米掛一盞，從頭到尾一共要掛多少盞？

2.繞操場插彩旗，操場的周長是200米，每隔4米插一面，一共要插多少面？

3.沿著學校教學樓到科技樓的小路兩邊擺花盆，小路全長200米，每隔4米擺一盆，一共要擺多少盆？

4. 小朋友在學校大門口手捧鮮花排成橫隊迎賓，每隔3米站一個，一共站了36個。從第一個到最后一個的距離有多遠？

【學習效果】

類似的數量關系，不同的植樹情境，大部分學生在拿到題目后一片茫然，機械的數量關系公式在不同的植樹情境中不能靈活應用，對于“加1、不加不減、減1”分不清了，正確率與第一課時的練習相比大大降低（見表2）。

二、歸因釋疑

上述現象中，教師可以發現：學生在學習了第一課時“兩端都栽”的植樹問題后，解題正確率比較高。第3個問題的正確率雖然不高，但是學生錯在審題不仔細，沒有留意“兩側”而已，而基本數量關系還是正確的。由此，教師誤以為已經達成了這一課時的教學目標。但在學生學習了植樹問題的不同情況后，在教師組織綜合練習時，卻出現了比較嚴重的問題，題目中沒有明顯地表示出“兩端都栽”“兩端都不栽”“只栽一端”等提示語，對于具體情境中的“1”怎么處理，學生模糊不清，成為該單元教學中的難點。究其原因，癥結在于學生對“為什么加1”沒有內化。

（一）教師自身對“1”不理解

“1”到底指的是哪棵樹？其實教師都知道植樹問題分為兩種情況，即直線上的植樹問題與環形上的植樹問題。直線上的植樹問題又分成三種情況，在“兩端都栽”的情況下，一端先種一棵樹，一棵樹對應一個間隔，再種一棵對應一個間隔……n棵樹對應n個間隔，最后一棵樹沒有對應的間隔，因此要加的這個“1”就是最后那一棵樹，所以在兩端都栽的情況下求樹的棵數要間隔數加1……。如下圖所示。

也可以看成：當種下第一棵樹時，沒有間隔，然后是一個間隔對應一棵樹，n個間隔對應n棵樹，這個1就是第一棵樹，所以在兩端都栽的情況下求樹的棵數要間隔數加1。如下圖所示。

綜上所述，在“兩端都栽”的情況下，“間隔數+1”中的“ 1”指的是直線上首或尾的那一棵樹。從圖中也可發現，在“兩端不栽”的情況下，就是首尾都不種，植樹的棵數等于“間隔數-1”。在“只栽一端”的情況下，一個間隔正好對應一棵樹，所以植樹的棵數等于間隔數，不加也不減；而在環形上植樹，可以看做首尾兩端相連，重合成了一棵樹，相當于“只栽一端”的情況。這就是植樹問題中的“加1、不加不減、減1”的根據，很多教師沒有深入地去思考，所以學生也就不明白“1”從哪里來。

（二）沒有組織學生體驗“1”從哪里來

在教學“兩端都栽”的過程中，教師僅把操作結果讓學生進行機械記憶，沒有內化“1”的屬性。上述教學片段中，教師可以發現學生能夠根據操作找到這類植樹問題的規律“棵數＝間隔數+1”，但在運用這個規律求路長時卻遇到了較大困難，正確率很低。尤其是到了綜合練習時，學生解決問題的思路混亂，正確率更低。教師以為學生根據“棵數與間隔數之間的關系”就能解決問題了，實際上這只是部分學生具備了繼續學習的能力，而在發現規律與運用規律間缺少了必要的聯系與溝通，其根源還是在于學生對為什么加“1”不理解。“一一對應”的數學思想，在學生的大腦中幾乎一片空白，所以對于“1”從哪里來，對于具體情境中的“1”怎么處理，學生更是模糊不清。

三、實踐破疑

鑒于上述分析，在植樹問題第一課時的教學時，教師就要讓學生充分體驗、理解“1”的含義，構建植樹問題中“兩端都栽”的數學模型。對此筆者再次挖掘教材的數學內涵，對本課進行了第二次教學實踐。

（一）“植樹”活動，初步體驗要“加1”的規律

在“兩端都栽”的情況下，組織學生研究“間隔數與棵數”的關系。在猜想階段，大部分學生都認為“間隔數+1=棵數”。但這僅僅是學生的課外學習經驗所得，基本上是家長或奧數課本中強加于學生的機械公式，學生沒有真正體驗過這個規律是怎樣得來的。于是筆者就設計以下操作環節以驗證學生的想法。

1.同桌合作研究：兩端要栽的植樹問題，棵數與間隔數有怎樣的關系？

(1)在“小路”上模擬種樹3次。（教師提供長短不同的小路以及樹的模型作為研究的學具）

(2)把每次種樹的結果畫下來，記錄在表中。

(3)同桌互相評一評研究成果，并交流。

同時，考慮到學生的不同學情，教師提醒學生也可以在大腦中種樹，直接畫一畫，記錄在表內。

2.交流匯報，反饋驗證結果，教師根據學生的回答，板書如下：

讓學生體驗、展示不同的畫法與想法，尋找“兩端都栽”植樹問題的共同特征與規律，滲透化繁為簡、數形結合的數學思想。

3．揭示規律并板書：間隔數+1=棵數。

（二）交流分析，明確“1”從哪里來

學生經歷了以上操作、驗證過程，并得出“間隔數+1=棵數”的規律后，教師應該馬上予以追問，讓學生通過交流與分析，理解植樹問題中的“1”從哪里來。

1. 教師追問：為什么要“加1”呢？這個“1”是從哪里來的呢？

2．組織學生討論，并在自己研究的線段圖上圈一圈，找出1代表哪棵樹。

3．根據學生的回答，用課件演示“間隔數與棵數間一一對應”的過程，并分析兩種情況。

(1)“1”表示最后一棵樹。如下圖所示。

教師引導學生解釋：在小路邊，一端先種一棵樹，一棵樹對一個間隔，再種一棵對應一個間隔……，10棵樹對應10個間隔，40棵樹對應40個間隔……最后還有一棵樹沒有對應，因此要“加1”。這個“1”就是沒對應的那一棵樹，所以在“兩端都栽”的情況下求棵數要間隔數加1。

(2)“1”表示第一棵樹。如下圖所示。（方法同上）

師生歸納得到：“ 1”指的是首或尾的那一棵樹。

4．引導學生觀察板書和圖例，并說一說關于路長、間距與間隔數的關系，同時板書數量關系：路長÷間距=間隔數，為后續學生能夠靈活面對不同的植樹情境打好基礎。

（三）溝通聯系，理解不同植樹情境中“1”的含義

在繼續學習“兩端不栽”“只栽一端”“環形上”的不同情境的植樹問題時，進一步滲透“一一對應”的數學思想，讓學生圈一圈、畫一畫，與上述“兩端都栽”的植樹問題進行比較、溝通和聯系，并組織相應的對比練習、開放練習，深化“1”的內在含義，從而整體把握植樹問題中的“加1、不加不減、減1”三種情況。教師可以出示如下開放式植樹情景：

有一條公路，旁邊按規定間距種著一些樹，有兩位小朋友想測量這條路的長度，但是帶去的尺不夠長，你有什么好方法幫助兩位小朋友嗎？

看到這個情境后，學生認為數據不夠，需要知道間距、棵樹，才能求路長。于是教師出示以下數據：量得兩棵樹的間距是8米，共有51棵樹，求路長。

結果，學生根據植樹問題的三種情況靈活得出了三種不同的答案。

兩端都種的情況下求路長：（51-1）×8=400（米）；

只種一端的情況下求路長：51×8=408（米）；

兩端都不種的情況下求路長：（51+1）×8=416（米）。

教師再次組織學生討論：在求路長時，為什么“加1、減1”發生了變化呢？引導學生根據不同情境作出靈活的應對處理。

至此，學生深化了對“1”的理解，整合了植樹問題的各種情況，由機械識記“1”轉化為靈活把握“1”，突破了植樹問題教學中的難點所在。經檢測，同樣是前面現象二中的4道植樹問題，正確率大為提高，每道題的正確率為85%以上，前后學習效果對比，見表3。

（浙江省余姚市東風小學教育集團 315400）