小學概率知識的教學誤區與思考

小學概率知識是新課程實施后新增加的內容，由于很多教師自己沒有系統學習過這方面的知識，所以對于什么是隨機事件、古典概型、幾何概型、頻率等都相對比較陌生，因此，教師在教學過程中容易在概念的理解和操作試驗上產生一些誤區。對此，筆者結合相關案例來談自己的一些看法。

一、概念理解上的誤區

誤區一：誤把分率當概率

【案例1】人教版五上“等可能性”教學片段

一位老師在某省級公開課——“等可能性”時安排了如下練習題。

(1)快到期末了，我們班40名同學中要評選1名三好學生，那么李明同學被評為三好學生的可能性是多少？

(2)小明一家暑假要去旅游，旅行社推薦了桂林、云南、北京、西安、青島、杭州、福建、廈門8個地方，小明爸媽選擇去北京的可能性是多少？

學生的答案分別是和，老師滿意地點點頭。

【反思】從案例1中可以看出，教師將分率和概率概念混淆。實際上，以上學生回答的兩個分數是分率，而不是概率。古典概型可以依賴于計算比較容易獲得準確的概率值，更多的隨機事件概率是較難得到的。根據學生的年齡特點和認知水平，小學數學教學中只要求學生對等可能性事件發生的可能性用分數來表示。等可能性事件要滿足以下兩個條件：

(1)試驗的全部可能結果只有有限個，比如說為n個。

(2)每個試驗結果發生的可能性是相等的，都是 。

仔細分析上面兩道習題可以知道，這些事件都不是等可能性事件。因為去哪里游玩是由小明家人主觀意愿決定的，有的地方已經去過，根本不會考慮在內，同樣，評比的條件也是不可控制的，因為每人是否都具有相同的評比三好學生條件，都不清楚。由于這些事件都不是等可能性事件，所以以上事件的概率無法用一個確定的分數表示，而和這兩個分數只是兩個分率而已。

那么概率和分率在數學概念上的意義各是什么？它們之間又有什么聯系和區別呢？下面以摸球為例（見下圖）。

\"袋子里有3個白球、1個黑球，每次從袋中摸出一個球，摸到黑球的概率是（ ）。黑球占總數是（ ）”（概率和分率都是）。這里概率與分數應用題中的分率產生方法相同，都是一個量與另一個量比較的結果，計算方法也是相同的，從袋中摸出一個球，摸一次，摸到黑球的概率就是袋中黑球個數占袋中球的總個數的幾分之幾或是百分之幾。而求一個數是另一個數的幾分之幾或是百分之幾就是用一個數除以另一個數。意義也相近，都表示一個數是另一個數的幾分之幾或是百分之幾。盡管這樣，它們還是有原則性的區別的。“分率”表示黑球占總數的，如果總數有100個球，那么黑球就有25個，而“概率”是的意思表示摸到100個球，并不代表能摸到25個黑球，也許有的摸了100個球可能1個黑球也沒摸到，也許有的人只摸了1個球可能就摸到1個黑球。概率可以作為分析問題的參考信息，但它并不像百分率那樣具有確定性。概率反映的是事件發生機會的高低，但是不能確定發生次數的多少。教學中教師要盡量避免走進這樣的誤區。

誤區二：誤把頻率當概率

【案例2】人教版五上“統計與可能性”教學片段

在學生拋了10次硬幣后。

師：剛才我們拋了10次，發現正、反面出現的次數差異有點大，下面我們來看一下數學家拋了上萬次的情況（條形統計圖）。你發現什么？

生：正反面次數差距越來越小了。

師：如果再拋下去呢？

生：幾乎相等。

師：正、反面出現的次數幾乎相等，也就是說正（反）面出現次數占總次數的大小就越來越接近哪個分數？

生：二分之一。

師：是呀，隨著拋的次數越來越多，正面出現的可能性也就越接近二分之一，所以拋硬幣是公平的。

【反思】拋10000次一定比拋9999次正面向上的頻率更接近嗎？顯然教師把頻率與概率混淆了。教師都知道刻畫事件發生的可能性大小的數量指標叫做事件發生的概率。設一個試驗有N個等可能的結果，而事件E恰包含其中M個結果，則事件E的概率定義為，該數學模型稱為等可能性概型或古典概型。如因為硬幣的兩面質地完全一樣，所以每次拋硬幣出現正、反面的概率都是。而教師在同一條件下做若干次重復試驗時，事件A發生的次數與試驗總次數之比稱為頻率。如學生拋5次硬幣，其中出現正面1次、反面4次，就說正面出現的頻率是。顯然，頻率是相對于具體的試驗而言的。在次數極少的試驗中，相關的頻率是極不穩定的，差異可能很大。而當試驗次數增加時，就會發現，隨機事件發生的頻率總在某個常數附近擺動，如歷史上幾位著名數學家分別做了幾千、幾萬次擲硬幣的試驗，出現正面朝上的頻率都非常接近0.5。隨著試驗次數的不斷增多，試驗會呈現一種規律性，頻率將穩定于某個常數。概率的統計定義就是利用頻率具有穩定性這一事實，把某個常數作為事件發生可能性的一個量度，并稱之為統計概率。概率的統計意義隱含的一層意義常常被大家忽略，那就是：沒有理由認為拋10000次一定比拋9999次正面向上的頻率更接近，頻率只是在概率附近擺動，只能說隨著拋的次數逐漸增多，頻率越來越接近概率。如果跟學生說不清楚的話，教師可以借助圖像來直觀表達。

二、操作試驗上的誤區

誤區一：誤把摸球試驗的目的當做驗證一個結論

【案例3】人教版三上“可能性”第一次試教片段

師：老師在兩個盒子里各放了4個乒乓球。如果摸到黃球有獎，你會選擇哪個盒子摸？

A盒 ：三黃一白 B盒：三白一黃

生（異口同聲）：A盒，因為A盒黃球多，B盒黃球少。

師：你們的意思是黃球多摸到的可能性大，黃球少摸到的可能性小，下面大家來摸一摸。

學生摸好后進行統計，教師發現：有時在A盒中摸，出現白球多；有時在B盒中摸，出現黃球多。為了避免這種情況發生，輕松得到“黃球數量多摸到的可能性大”這個結論，教師在第二次試教中將A盒換成 “九黃一白”， B盒換成“九白一黃”。

結果沒有發生意外，教師非常滿意。

【反思】案例3中教師誤解了摸球試驗的真正目的，以為這個實驗的目的就是驗證“數量多，摸到的可能性大”這個結論，于是教師怕小概率事件發生，就改變了盒中球的比例，這樣的做法完全違背了試驗的真正目的——隨機觀念的培養。有意外才精彩，正是因為有了意外發生才更能說明隨機事件的不確定性?！包S球多摸到的可能性大”并不表示摸10次一定摸到黃球多白球少，白球多黃球少也有可能發生，只不過可能性要小一些而已。而做這樣試驗的目的就是改變學生確定性思維方式，讓他們明白：即使在99%是正品的店里也有可能買到次品，在99%次品的店里也有可能買到正品。隨機思想就是在這樣的思辨活動中慢慢形成的。

誤區二：誤把等可能性試驗的重點當做為了得到一個二分之一

【案例4】人教版五上“統計與可能性”教學片段

師：拋硬幣游戲公平嗎？

生（異口同聲）：公平。

師：有什么方法可以驗證它是公平的呢？我們來做個試驗，現在我們猜一猜，如果拋10次，那么會出現什么情況？

生：5次正5次反。

師：如果拋100次呢？

生：50次正50次反。

師：現在我們規定每人拋10次。

結果教師發現，五正五反的情況沒有幾個。在不做實驗、不分析時，學生似乎理解得很順利“拋硬幣，正、反面向上的可能性相等”，做了實驗之后，學生糊涂了。在一堆懸殊很大的數據面前，教師試圖證明可能性相等是那么無能為力，于是教師選擇縱軸間距不等的方法，技術處理了下面兩幅對比條形統計圖，選擇相等的或接近相等的條形來支持“可能性相等”的結論，給學生視覺上一個騙局：數據越大，正、反次數相差越小。實際上如果縱軸間距刻度相等的話，擲得越多，正、反次數相差就越大，只不過相差數占總次數的百分比很小而已。

【反思】 擲硬幣試驗本身的目的不是為了得到“ ”，試驗的重點是培養學生的隨機觀念，讓學生體會“偶然中的必然”，更重要的是澄清學生潛在的錯誤認識，體會到不確定也有穩定性。學生在正式學習概率之前就已經具備了一定的經驗，在面臨簡單的可能性事件時憑經驗就能判斷，為什么還要做試驗呢？學生能夠判斷拋硬幣是公平的，并且知道是等可能，但這并不證明學生已經真正理解了等可能性的本質，已經有了隨機思想。筆者認為，實驗不僅要做，而且要多次做。只有在大量重復試驗中，學生才能充分體驗到隨機事件的“不確定性”，通過實驗之后對數據的分析，讓學生體驗隨機事件的另一特點“偶然中的必然”，同時也消除了學生潛在的錯誤認識。

小學的概率教學的目的主要是培養學生初步的隨機觀念，讓學生從小學會用概率的眼光去觀察大千世界，而不僅僅是以確定的、一成不變的思維方式去理解事物。學生初步的隨機觀念是否形成關鍵取決于教師。因此，教師提升自己的本位知識、理解教材的編排意圖事關重要。如此，才能夠盡快走出概率教學的誤區。

（浙江省海寧縣紫微小學 314400）