估算方法知多少

所謂估算就是通過估計(jì)進(jìn)行計(jì)算。按照《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋，“估計(jì)”指的是“根據(jù)某些情況，對事物的性質(zhì)、數(shù)量、變化等做大概的推斷。”[1]這里“大概的推斷”意味著不需要十分準(zhǔn)確，但是能夠得到所需要的結(jié)論或判斷。比如要想知道下面哪一張圖中“黑點(diǎn)”多，就不需要逐一精確數(shù)出黑點(diǎn)數(shù)量，根據(jù)直觀看到的黑點(diǎn)密集程度就可以推斷出“右側(cè)圖中黑點(diǎn)更多”的結(jié)論。

因此，對于估算可以形成這樣的認(rèn)識(shí)，首先應(yīng)當(dāng)有一個(gè)主觀的目標(biāo)，比如前面問題中“想知道哪一張圖中黑點(diǎn)多”，就是一個(gè)主觀的目標(biāo)；另外就是計(jì)算的過程與方法盡量簡單、快捷，不要求絕對的準(zhǔn)確，只要求達(dá)成目標(biāo)，就是說評價(jià)估算的標(biāo)準(zhǔn)不是準(zhǔn)確，而要看是否達(dá)成了目標(biāo)。因此，相對于精確計(jì)算來說，估算的結(jié)果和方法具有主觀的個(gè)性化特征。

一、估算方法從哪兒來

鑒于估算方法的個(gè)性化特征，關(guān)于估算方法的研究通常都是針對不同人群的調(diào)查進(jìn)行的。美國紐約大學(xué)的黛博拉·萊文（Deborahr Levine）在針對大學(xué)生估算水平的研究中，依據(jù)文獻(xiàn)分析和邏輯檢驗(yàn)對估算方法進(jìn)行了分類。[2]之后牛津大學(xué)的杜克（Ann Dowker）通過對專業(yè)數(shù)學(xué)家估算方法的調(diào)查，對上述分類進(jìn)行了修改與完善。[3]調(diào)查中主要采用乘法和除法的計(jì)算問題，最終將乘、除法的估算方法分為了八種類型。

類型1：運(yùn)用分?jǐn)?shù)（Use of Fractions）

這一類型的特點(diǎn)是通過將參與運(yùn)算的整數(shù)或小數(shù)改寫為近似的分?jǐn)?shù)，進(jìn)而達(dá)到簡化計(jì)算的目的。比如“448x0.76”，其中的0.76與分?jǐn)?shù)（0.75）比較接近，所以原來算式就近似于“448x”。再比如“7858÷51”，其中的51與比較接近，所以可以將原算式改變?yōu)椤?858÷100x”。

類型2：運(yùn)用已知數(shù)或“好”數(shù)（Using Known or “Nicer” Numbers）

這種方法通常是將參與運(yùn)算的數(shù)改寫，改寫的目的是把不熟悉的運(yùn)算變?yōu)槭煜さ倪\(yùn)算。比如可以把“1292.8÷67.3”改寫為“1300÷65”，這個(gè)算式的結(jié)果20應(yīng)當(dāng)是很容易看出來的。

類型3-4：運(yùn)用整十?dāng)?shù)（Rounding）

此類型的方法應(yīng)當(dāng)是目前我國小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中比較常見的方法。就是將參與運(yùn)算的數(shù)改寫為最接近的整十?dāng)?shù)。比如將“824x26”改寫為“800x30”，把“93x28”改寫為“90x30”等等。黛博拉·萊文是將同時(shí)改變兩個(gè)數(shù)和只改變一個(gè)數(shù)分別分為了類型3和類型4，杜克沿用了這種分類。

類型5：運(yùn)用數(shù)的分解（Factorization）

這種方法主要用于除法的估算，實(shí)際上是運(yùn)用除法商不變的性質(zhì)將被除數(shù)和除數(shù)進(jìn)行相同倍數(shù)的變化。比如“9208÷32”，將被除數(shù)和除數(shù)連續(xù)三次除以2依次得到“4604÷16”“2302÷8”和“1151÷4”。此時(shí)依據(jù)需要進(jìn)行估算就簡便得多了。

類型6：按標(biāo)準(zhǔn)算法計(jì)算（Proceeding Algorith-mically）

這一方法基本上是按照通常意義的標(biāo)準(zhǔn)算法進(jìn)行計(jì)算的。比如“64.6x0.16”，首先將其中的64.6擴(kuò)大10倍看成646，將0.16擴(kuò)大100倍看成16。而后依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)算法的順序分別計(jì)算“646x6”和“646x10”，將兩個(gè)計(jì)算結(jié)果相加后再將結(jié)果縮小1000倍得到結(jié)果。

類型7：運(yùn)用分配的性質(zhì)（Distributivity）

這一方法實(shí)際上是對估算結(jié)果進(jìn)行調(diào)正的過程。比如“76x89”，運(yùn)用乘法對加減法的分配律，將原來算式改寫為“76x100-76x10”，就會(huì)使計(jì)算簡便。再比如除法算式“25410÷65”，如果把25410改寫為25400，比原數(shù)減少了10；把65改寫為60，比原數(shù)減少了5。那么原來算式就可以用“25400÷60＋10÷2”進(jìn)行估算。這里需要注意，實(shí)際上除法本身并沒有像“（25400＋10）÷（60＋5）＝25400÷60＋10÷2”這樣的分配律。

類型8：其他（Others）

杜克的研究中還發(fā)現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)家使用的特殊方法。比如對于“64.6x16”，把其中的64.6近似看成26，16是24，所以原來算式結(jié)果近似于“26x24＝210＝1024”。對于“0.76x0.89”，由于0.89比1小，同時(shí)又比較接近1，所以算式的結(jié)果應(yīng)當(dāng)比0.76小一點(diǎn)，比如可以是0.7。還有就是運(yùn)用平方差公式“a2-b2=(a-b)(a+b)”，比如對于“12.6x11.4”，將其變形為“（12＋0.6）x（12-0.6）＝122-0.62”進(jìn)行計(jì)算。

以上方法都是操作性的，回答的是“怎么做”的問題。為了從思維的角度研究估算的方法，也就是要回答“怎么想”的問題，以美國密蘇里大學(xué)的羅伯特·雷斯（Robert E. Reys）為首的研究小組對1200名七至十二年級的學(xué)生以及部分成年人進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查不局限于問卷的統(tǒng)計(jì)，而且輔助以訪談的方法分析估算的思維過程。通過對研究結(jié)果的分析與歸類，總結(jié)出估算的三種基本思維過程：數(shù)據(jù)重塑（Reformulation）、算式轉(zhuǎn)換（Translation）和盈虧互補(bǔ)（Compensation）。[4]

二、數(shù)據(jù)重塑與算式轉(zhuǎn)換

所謂數(shù)據(jù)重塑是指在估算時(shí)將注意力放在參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)方面，估算方法是以通過改變數(shù)據(jù)簡化計(jì)算的。比如對于“87419＋92765＋90045＋81974＋98102”的計(jì)算，算式中的五個(gè)數(shù)據(jù)都是五位數(shù)，只看最高位就可以估算出算式的結(jié)果近似于450000。這種策略在加減法估算中很常用，叫做“高位策略（Front-End）”。前面提及的利用整十?dāng)?shù)策略也屬于數(shù)據(jù)重塑，比如為了計(jì)算“474357÷8127”，可以將被除數(shù)474357改寫為“480000”，把8127改寫為8000，以簡便計(jì)算。

數(shù)據(jù)重塑中還有一種策略就是通過改變數(shù)據(jù)使得算式中的各個(gè)數(shù)據(jù)互相匹配（Compatible），以簡便計(jì)算。比如前面的算式“474357÷8127”改變?yōu)椤?80000÷8000”，其中的480000和8000具有整除關(guān)系，也就是具有了一種相互匹配的關(guān)系。再比如的計(jì)算，如果把其中的347改寫為350，43改寫為42，那么42與6可以約分為7，7與350又具有整除關(guān)系，就使得算式中的三個(gè)數(shù)據(jù)相互匹配了。這一簡化過程可以從下面的算式中明顯看出：

＝＝50

數(shù)據(jù)重塑的另外一種情況是將數(shù)據(jù)類型改變，比如前面利用分?jǐn)?shù)的策略，就是將小數(shù)或整數(shù)改變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)，以達(dá)到簡便計(jì)算的目的。在百分?jǐn)?shù)的計(jì)算中也可以將百分?jǐn)?shù)改寫為相等或近似相等的分?jǐn)?shù)，比如“求123456789元錢的30％是多少？”就可以把百分?jǐn)?shù)30％近似地看做，使得計(jì)算變得簡便。

估算的第二種思維過程是算式轉(zhuǎn)換，這種思維過程是整體關(guān)注算式的結(jié)構(gòu)，也就是將注意力放在運(yùn)算和運(yùn)算順序的改變上。前面關(guān)于的估算中數(shù)據(jù)匹配的思考，實(shí)際上就蘊(yùn)涵了算式轉(zhuǎn)換的思維過程，因?yàn)轭}目所給出的運(yùn)算順序?qū)嶋H上是“347x6÷43”，而實(shí)際的運(yùn)算順序改為“347÷（43÷6）”。再比如前面“87419＋92765＋90045＋81974＋98102”的估算，如果把每一個(gè)數(shù)都近似地看成90000，那么加法算式就轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ㄋ闶健?0000x5”了。

綜上可以看出，在估算的思考過程中，數(shù)據(jù)重塑和算式轉(zhuǎn)換的思維過程經(jīng)常是同時(shí)出現(xiàn)的。但要注意二者是不同的，比如對于“8946＋7212＋7814”的估算，如果把注意力放在數(shù)據(jù)的改變上，就會(huì)將算式改變?yōu)椤?000＋7000＋8000”，從而得到估算的結(jié)果為24000，其中只有數(shù)據(jù)發(fā)生了變化，算式的結(jié)構(gòu)并沒有變化，因此屬于數(shù)據(jù)重塑的思維過程。如果從整體觀察算式“8946＋7212＋7814”，就會(huì)發(fā)現(xiàn)三個(gè)數(shù)據(jù)都接近8000，因此想到變加法為乘法，算式就變成了“8000x3”，其結(jié)果也是24000。這樣的過程使得算式的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，因此屬于算式轉(zhuǎn)換的思維過程。

三、盈虧互補(bǔ)

盈虧互補(bǔ)實(shí)際上是追求估算結(jié)果盡量準(zhǔn)確或與問題目標(biāo)相契合的思維過程，是伴隨在數(shù)據(jù)重塑和算式轉(zhuǎn)換之中或之后進(jìn)行調(diào)整（Adjustment）的過程。這一思維過程是與問題的情境與問題的目標(biāo)緊密相關(guān)的。比如下面的問題情境：一位顧客購買單價(jià)4.9元的商品4件。

如果問題目標(biāo)是“需要準(zhǔn)備多少元錢”或者是“準(zhǔn)備20元錢夠不夠”，那么就可以采用數(shù)據(jù)重塑將“4.9”放大為“5”，通過“5x4”的計(jì)算得到“需要準(zhǔn)備20元錢”或“準(zhǔn)備20元錢夠”的結(jié)論。這一估算過程并不需要盈虧互補(bǔ)的思考。

如果問題目標(biāo)是“顧客付給售貨員20元，那么應(yīng)當(dāng)找回多少錢”。針對這一問題目標(biāo)就要求“20-4.9x4”的計(jì)算結(jié)果是準(zhǔn)確的，如果采用先乘除后加減的精確計(jì)算，需要先計(jì)算“4.9x4”得到結(jié)果為19.6，然后計(jì)算“20-19.6”得到0.4。事實(shí)上在實(shí)際情境中，售貨員往往是先把每件商品單價(jià)“4.9元”想象成“5元”，這樣每件商品就增加了“0.1元”，因此估算出4件商品的價(jià)格“20元”，比實(shí)際價(jià)格增加了“0.4元”，因此應(yīng)當(dāng)找回給顧客“0.4元”。這一過程首先是采用了數(shù)據(jù)重塑，將“4.9”改變?yōu)椤?”，其中又蘊(yùn)涵了盈虧互補(bǔ)的思維過程，把算多的部分減回來了。用算式表達(dá)這一過程就是：

20-4.9x4

＝5x4-4.9x4

＝（5-4.9）x4

＝0.1x4

＝0.4

需要指出，估算追求的是在簡單、快捷的基礎(chǔ)上能夠達(dá)成問題目標(biāo)，因此估算的實(shí)質(zhì)上是簡便計(jì)算的一種。簡便計(jì)算既包括精確計(jì)算，同時(shí)也包括估算。精確計(jì)算的問題目標(biāo)往往是客觀的、確定的，不論什么樣的人，不論采用什么樣的計(jì)算方法，所得到的結(jié)果一定是唯一確定的，不以計(jì)算者的主觀意志為轉(zhuǎn)移。而估算的結(jié)果往往是開放的，甚至可能是多樣的，不能用“正確”還是“錯(cuò)誤”進(jìn)行區(qū)分。估算的結(jié)果是不是合理，就要看這一結(jié)果能否達(dá)成問題目標(biāo)。

盈虧互補(bǔ)作為一種思維方法，不僅在簡便計(jì)算中使用，在解決問題中也經(jīng)常出現(xiàn)。比如明代程大位在《算法統(tǒng)宗》中解決“雞兔同籠”問題所采用的“倍頭法”，[5]也就是現(xiàn)在所說的假設(shè)法，其中就蘊(yùn)涵了盈虧互補(bǔ)的思維過程。

問題：若干雞和若干兔在同一個(gè)籠子中，總頭數(shù)為35，總足數(shù)為94。問雞和兔各有多少只？

運(yùn)用倍頭法解決問題的過程中需要這樣的思考，把35只動(dòng)物都看成雞，這樣總足數(shù)就是：35x2＝70（足），比實(shí)際總足數(shù)94“虧”了24，原因在于把每只兔少算了2個(gè)足，如果給每只兔補(bǔ)上2個(gè)足，也就是總共補(bǔ)上24個(gè)足，就等于實(shí)際總足數(shù)了。同樣還可以把35只動(dòng)物都看成兔，總足數(shù)為：35x4＝140（足），比實(shí)際總足數(shù)“盈”了46，是因?yàn)榘衙恐浑u多算了2個(gè)足，減去“盈”的部分，就得到實(shí)際總足數(shù)了。這種針對“盈”與“虧”之間關(guān)系的思考自然屬于盈虧互補(bǔ)的思維過程。[6]

在解決幾何問題時(shí)也經(jīng)常需要運(yùn)用盈虧互補(bǔ)的思維過程。比如在已經(jīng)知道長方形面積的求法后，通常是運(yùn)用“割補(bǔ)”的方法將平行四邊形轉(zhuǎn)變?yōu)殚L方形，從而得到平行四邊形的面積公式。其中“割”與“補(bǔ)”的過程其實(shí)就是在“盈”與“虧”之間進(jìn)行調(diào)整的過程。為了說明盈虧互補(bǔ)的思維過程在解決幾何問題中的應(yīng)用，下面再看一個(gè)例子：

問題：有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，平放在一個(gè)大正方形內(nèi)，它們之間互相疊合（如圖2）。已知露在外面的部分中，紅色面積為20，黃色面積為14，綠色面積為10。求大正方形的面積。

本題的關(guān)鍵顯然是求出“兩個(gè)空白部分的面積之和”。從目前紅、黃、綠三個(gè)正方形所處的狀態(tài)，看不出已知條件與“兩個(gè)空白部分的面積之和”有何關(guān)系，其原因就是黃色正方形位置的“不規(guī)范”。如果把黃色正方形想象成是“動(dòng)態(tài)”的，沿水平方向平移，那么“兩個(gè)空白部分的面積之和”是不會(huì)改變的。

黃色正方形的水平移動(dòng)使得黃色和綠色兩個(gè)正方形露出部分的面積會(huì)發(fā)生變化，當(dāng)黃色正方形向左移動(dòng)時(shí)，露出部分的面積會(huì)減少（虧），同時(shí)綠色正方形露出部分的面積會(huì)增加（盈）。不難看出，減少部分的面積與增加部分的面積是相等的，也就是盈與虧具有互補(bǔ)關(guān)系。這種關(guān)系意味著黃色正方形的水平移動(dòng)不會(huì)導(dǎo)致黃、綠兩個(gè)正方形露出部分面積之和發(fā)生變化。基于此，把黃色正方形向左移動(dòng)至如圖3的“極端”位置，即最左側(cè)。

這時(shí)可以知道黃、綠兩個(gè)正方形露出部分的面積之和為“14＋10＝24”，而且這兩個(gè)部分面積是相等的，均為12。因此原問題就變?yōu)榱巳缦碌囊粋€(gè)簡單問題了。

問題：有紅、黃、綠三塊面積均為20的正方形紙片，平放在一個(gè)大正方形內(nèi)。其中紅色正方形分別蓋住了黃、綠兩個(gè)正方形的一部分（如圖3）。已知黃、綠兩個(gè)正方形露在外面部分的面積均為12，求空白部分（圖中“？”處）的面積。

以上思考過程的關(guān)鍵是在移動(dòng)黃色正方形的過程中，發(fā)現(xiàn)“盈”與“虧”之間的互補(bǔ)關(guān)系。這一過程與計(jì)算過程中經(jīng)常使用的“加多了減，減多了加”是一脈相承的。因此可以說，盈虧互補(bǔ)是一種應(yīng)用廣泛的思維方法。

綜上，從具體操作層面來看，很難說估算方法有多少種。從思維的角度來說，可以概括出估算的思維過程分別為數(shù)據(jù)重塑、算式轉(zhuǎn)化和盈虧互補(bǔ)。在具體計(jì)算過程中，這些思維過程往往是處于混雜交替的狀態(tài)。而且，這些思維方法具有廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)是讓學(xué)生經(jīng)歷并熟悉這些思維活動(dòng)，積累并應(yīng)用這樣的方法。

不僅如此，由于估算方法具有個(gè)性化特征，因此在教學(xué)過程中學(xué)生必然會(huì)出現(xiàn)許多“自創(chuàng)算法”。面對這些自創(chuàng)算法，教師應(yīng)當(dāng)欣賞并接納，而不是持否定并拒絕的態(tài)度。通過分析研究，進(jìn)而積累更多的算法用于今后的教學(xué)。

注釋與參考文獻(xiàn)：

[1]中國社會(huì)科學(xué)院語言研究所詞典編輯室. 現(xiàn)代漢語詞典. 商務(wù)印書館， 1996.p.446.

[2] Deborah R. Levine. Strategy Use and Estimation Ability of College Students. Journal for Research in Mathematics Education， Vol. 13， No. 5 (Nov， 1982)， pp. 350～359.

[3] Ann Dowker. Computational Estimation Strategies of Professional Mathematicians. Journal for Research in Mathematics Education， Vol. 23， No. 1 (Jan， 1992)， pp. 45～55.

[4] Robert E. Reys， James F. Rybolt， Barbara J. Bestgen and J. Wendell Wyatt . Processes Used by Good Computational Estimators. Journal for Research in Mathematics Education， Vol. 13， No. 3 (May， 1982)， pp. 183～201.

[5]郜舒竹. 雞兔同籠算法源流[J]. 教學(xué)月刊，2012. 7～8.

[6]詳細(xì)解答可參見：郜舒竹. 算法背后有想法[J]. 教學(xué)月刊， 2012.9.

(首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048)