讓基礎有“靈性”

我國數學教育一直重視“雙基”教學，對保證我國數學教育的質量起著重要的作用。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）在數學課程目標中明確提出了“四基”，即“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”。從“雙基”發展到“四基”，是本次課程標準修訂的重要變化之一，將“基本思想”和“基本活動經驗”確定為數學課程的基本目標，體現了對于數學課程價值的全面認識，有利于促進學生數學素養的全面提升。在“四基”背景下，需要我們思考的是，強調了“基本思想和基本活動經驗”的目標，是否還要重視原來的“雙基”教學，如何把握和改進“基礎知識和基本技能”教學？

我們認為，從“雙基”到“四基”，數學教學中強調基本活動經驗的積淀和基本思想的領悟，并不是不要重視“雙基”，而是對數學教學課程價值的進一步認識，對數學課程目標的進一步完善和豐富，但“雙基”仍是學生獲得發展的基礎，是學生數學素養的重要組成部分，也是“基本思想、基本活動經驗”目標實現的載體。實際上，《標準（2011年版）》不但繼續強調對數學基礎知識和基本技能的學習，而且賦予了基礎知識和基本技能新的理解。因此，基于當代社會對人的發展的要求以及教育改革的發展趨勢，我們要重新審視“雙基”的內涵及教學方式，要思考數學教學究竟為學生打下怎樣的基礎？華東師范大學張奠宙教授有一個非常好的提法：讓基礎有“靈性”。怎樣的基礎有“靈性”？我們認為，對基礎知識的教學重在理解、掌握和運用，而不是死記硬背概念、法則和公式；對基本技能的教學重在掌握和靈活運用，而不是過于追求速度和難度。也就是說，實現真正理解的、正確掌握的、能靈活變通和運用的“基礎知識和基本技能”才是有“靈性”的基礎。

在以有“靈性”的基礎為目標審視傳統的“雙基”教學，發現現在很多教學還是“依靠記憶掌握概念、依靠簡單重復訓練形成技能”，還是大量存在著“重結果輕過程、‘囫圇吞棗’、機械重復操練、過度練習”的現象，導致學生對知識和技能理解不到位、不會靈活運用，甚至經常出現“當堂都會，過后就忘”“練過都會，一變就蒙”“模仿都會，不會探究”等現象。因此，在當前課程改革提出“四基”目標的背景下，我們要用發展的眼光重新審視“雙基”，既應防止忽視“基礎知識和基本技能”學習的傾向，又要對“雙基”的內涵有新的理解和把握，為學生的終身發展打實有“靈性”的基礎。我們要認真思考和改進“雙基”教學，讓學生在“雙基”學習中也時時有靈光的閃現、智慧的迸發。

一、設計和實施“有過程的教學”，促進“雙基”及多元目標的有效達成

《標準（2011年版）》強調知識技能與獲取知識技能的過程都是重要的教學目標，強調要讓學生弄清知識的來龍去脈，并指出：“在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”因此，教學中，教師不能簡單地把現成的知識灌輸給學生，不能通過簡單重復的操練使學生形成技能，而是要善于設計和實施“有過程的教學”，幫助學生在理解的基礎上掌握基礎知識和基本技能，同時承載和有效達成基本思想和基本活動經驗的目標。設計和實施“有過程的教學”，教師要關注數學概念、公式、規律等的數學本質，關注學生已有的知識基礎和經驗，關注學生的思維水平及學習路徑，設計出有價值和有一定挑戰性的學習任務，以任務驅動學生投入學習過程，主動探索知識，從而有效獲得數學知識，形成基本技能，并逐步對數學學習產生興趣，發展數學思維，積淀基本活動經驗，領悟數學基本思想。

【案例1】設計“有過程的教學”——“小數點搬家”教學片段

“小數點搬家”一課的核心內容是“小數點位置的移動引起小數大小變化的規律”，其基本學習過程如下：

1.以“小數點搬家”的故事情境激發學生的學習興趣，以“搬家”的動態過程幫助學生體會“小數點位置移動引起小數大小的變化”。

2.以問題驅動學生的數學思考，激活學生的知識儲備和生活經驗，嘗試解釋、理解“規律”。探索規律時，設計了兩個核心問題驅動學生的思考。第一個問題是“怎樣說明0.1是0.01的10倍呢？怎樣說明0.01是0.1的呢？”激活學生的知識和經驗（小數的意義、人民幣模型、長度單位模型等），引發思考和解釋數學問題。第二個問題是“我們已經知道了小數點向右、向左移動一位，小數大小的變化規律，如果小數點向右、向左移動兩位、三位，小數的大小會發生怎樣的變化呢？你也能解釋說明嗎？”引導學生利用前面的探索經驗進行遷移和推理，并借助“幾何直觀”突破學生思維的難點。

3.溝通知識之間的聯系，幫助學生“知其所以然”。在初步得出了小數點位置的移動引起小數大小變化的規律后，教師追問了兩個問題，進一步引導學生思考“規律”的本質。第一個問題是“為什么小數點的位置移動會引起小數的大小變化呢”，并引導學生借助數位順序表來思考，體會其數學本質是“位值制”。第二個問題是“為什么擴大或縮小都是10倍、100倍、1000倍或 、 、 的關系呢”，體會其數學本質是“十進制”，即“兩個相鄰計數單位之間的進率是10”，實現了對“規律”本質的認識和理解。

4.在知識運用中進一步理解“規律”，通過閱讀材料進一步體會“小數點”的作用，促進學習習慣的養成。

通過對“小數點位置的移動引起小數大小變化的規律”的學習，學生形式化地記住這一“規律”并不難，但要自己探索發現并真正理解卻不是一件容易的事。教師重視設計“有過程的教學”， 以核心問題驅動學生的數學思考，讓學生經歷“規律”的形成過程，從而使學生真正“知其然，也知其所以然”，實現了知識技能以及數學思考、知識聯系、活動經驗積累等多元目標的達成。

二、豐富學生理解的角度和方式，實現“真正意義上的理解”

“知道事實不等于真正理解”“會背概念不等于理解”“會做題不等于理解”。有專家認為：“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么學生才會產生他們自己的數學理解。”《標準（2011年版）》強調知識與技能要在理解的基礎上掌握，并指出：“學生掌握數學知識，不能依賴死記硬背，而應以理解為基礎，并在知識的應用中不斷鞏固和深化。”還指出：“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。”教學中，教師要結合具體內容，引導學生從多個角度、用多種方式理解知識，實現“真正意義上的理解”。

【案例2】運用多種模型理解算理——“兩位數乘一位數”的教學片段

教師組織學生探索12×4的算法和算理，在獨立探索的基礎上交流。

生：我用點子圖幫助想的，先圈出右面的4個2，就是8個，再算左面的4個10，是40，所以就是8+40=48。

生：我列了豎式，并可以用“錢”來解釋。12表示一份是12元，4表示的是4個12元，先算4個2元，所以是二四得八，8要寫在個位上。再算4個10元，一四得四，4表示40，4要寫在十位上。

生：我是結合計數器來想的，12表示1個十和2個一，12×4表示有4個12，就是有4個10和4個2，所以一共是48。

上述案例中，教師為了幫助學生理解“兩位數乘一位數”的算理，引導學生結合多種模型來理解和解釋，點子圖、計數器、人民幣模型等清楚地將每一步算理表達出來，有效幫助學生理解了算理，同時激發了學生的學習興趣。

【案例3】從不同的角度理解數，體會數的聯系——“8”和“”的認識教學

1.對數“8”的認識，可以從基數、序數、數的結構、數的運算等多種角度引導學生探索和理解，使學生體會到8可以表示八個蘋果、八個教室、八只小羊等八個物體的集合（基數），也是7之后的數和9之前的數（序數），也可以看成是“4＋4” “3＋5” “2＋2＋2＋2”的數的組合（結構），還可以從運算的角度逐步認識到8是“10－2”“2×4”“16÷2”的結果（運算）。可以組織以下交流活動：4個2是8，4和4合起來也是8，8比10少2。

2.對分數“”的認識，不僅要認識“”表示“把一個整體平均分成四份，表示其中的三份”，還應建立分數、小數、百分數之間的等值關系，形成數的聯系，有效實現真正理解。如下圖：

以上述“8”的認識、“”的認識為例，在進行數的認識教學時，教師要重視數的聯系的教學，學生能夠從不同角度來理解“數”，體會這些數與其他數之間的關系，促進學生對數的結構模式和關系的認識。

三、科學有效地組織練習，促進知識技能的鞏固和靈活運用

《標準（2011年版）》指出：“基本技能的形成，需要一定量的訓練，但要適度，不能依賴機械的重復操作，要注重訓練的實效性。教師應把握技能形成的階段性，根據內容的要求和學生的實際，分層次地落實。”教師要結合教學的目標任務、重點和難點，創新練習形式、設計合理的練習層次、科學組織反饋方式，調動學生練習的積極性，提高練習的有效性，促進知識的理解和技能的形成，直至達到能靈活運用，形成有“靈性”的基礎。

【案例4】注意練習形式的趣味性和豐富性——“兩位數乘兩位數的練習”教學片段

本案例為特級教師朱樂平執教的“兩位數乘兩位數”的教學片段。在初步掌握了兩位數乘兩位數的筆算法則后，教師讓每個學生自己出4道兩位數乘兩位數的題目，先自己筆算，再同桌交換批改。

教師要求學生計算下面4個乘法算式，并發現：24×63=36×42，69×64=46×96。教師再引導學生發現左右兩邊具有“反序”的關系，從左往右讀24×63，如果這個算式從右往左讀，就得到36×42，而這兩個積是相等的。學生發現這個規律后都很興奮。于是，教師問：“很有趣，對嗎？有點像“回文詩”。那么，是不是所有這樣的兩個式子，它們的乘積都相等呢？”

教師再引導學生通過嘗試、觀察，發現這樣的算式的規律：即一個兩位數乘兩位數的算式，如果十位上的兩個數相乘的積等于個位上的兩個數相乘的積（如“24×63=36×42”這個算式中，2×6=12，4×3=12），那么，就可滿足上述的相等關系。

教師讓學生自己獨立地尋找題目，并用豎式的計算方法，驗證這個結論。學生興趣盎然，通過大量的嘗試、觀察、計算，找到了很多算式，如：12×42=24×21；62×13=31×26；84×12=21×48；26×93=39×62。

如何鞏固兩位數乘兩位數的運算法則，并提高學生的運算技能？在上述教學片段中，教師讓學生自己出題計算，并相互批改，再通過精心設計，讓學生去尋找、發現“回文算式”，較好地達成了鞏固知識、熟練技能的目的。乘法計算練習本是比較枯燥的，但有了好奇心的驅使，學生在這個過程中進行了大量的嘗試，在不知不覺中做了很多兩位數乘兩位數的練習題，計算技能的訓練在無形中落到實處，同時也發展了學生的思維。正是教師的精心設計，使枯燥無味的乘法計算練習變得這樣有深度而富有數學思維。

【案例5】注意練習的層次性和綜合性——“三角形內角和”的練習設計

在學生通過探索初步得出了“三角形內角和是180°”的結論后，教學中安排了多層次的練習，引導學生綜合運用知識，體會知識之間的聯系。具體幾個層次的習題如下：

1.求出三角形各個角的度數。

2.一個三角形可能有兩個直角嗎？一個三角形可能有兩個鈍角嗎？你能用今天所學的知識說明嗎？

3.課件呈現三角形拼、分過程。

(1)將兩個完全一樣的直角三角形合起來拼成一個大三角形，這個大三角形的內角和是多少？（課件呈現拼的過程）

(2)將一個大三角形分成兩個小三角形，兩個小三角形的內角和分別是多少？（課件呈現分的過程）

4.智力大沖浪：你能求出下面圖形的內角和嗎？

練習是鞏固知識、溝通知識聯系的有效手段，練習的設計要注意層次性和綜合性。上述“三角形內角和”的四個層次的練習，能充分注意溝通知識之間的內在聯系，練習中，將三角形內角和與三角形特征、三角形分類和各類多邊形等知識結合起來，使學生從整體上把握知識的來龍去脈或縱橫聯系，逐步形成對知識的整體認知，構建自己的認識結構，從而發展思維，提高綜合運用知識解決問題的能力。

四、準確把握評價要求，改進“基礎知識和基本技能”評價方式

《標準（2011年版）》指出：“在對學生學習基礎知識和基本技能的結果進行評價時，應該準確地把握‘了解、理解、掌握、應用’不同層次的要求。”對于學生基礎知識和基本技能達成情況的評價，必須準確把握好內容標準中的要求，如下表是《標準（2011年版）》中對第一學段有關計算技能的基本要求，但教師需要把握的這些要求要在學段結束時應達到，在一定學習階段評價時應注意把握尺度，對計算速度不作過高要求。

表1 第一學段計算技能評價要求

學習內容速度要求

20以內加減法和表內乘除法口算8～10題/分

百以內加減法和一位數乘除兩位數口算3～4題/分

兩位數和三位數加減法筆算2～3題/分

兩位數乘兩位數筆算1～2題/分

一位數乘除兩位數和三位數筆算1～2題/分

教學評價對教學改革往往起著一定的引導作用，為了讓學生的基礎有“靈性”，我們還應改進和創新“基礎知識和基本技能”的評價方式，以評價改革促進“雙基”教學改革。《標準（2011年版）》也指出：“對基礎知識和基本技能的考查，要注重考查學生對其中所蘊涵的數學本質的理解，考查學生能否在具體情境中合理應用。因此，在設計試題時，應淡化特殊的解題技巧，不出偏題怪題。”

【案例6】評價題示例

1.照樣子，畫圖解釋算式“ ”的意思。

在進行“分數×分數”的測試時，不僅要進行運算能力的測試，也要關注學生對運算意義的理解，關注運算的實際應用。上述測試題能了解學生對于分數乘法意義的理解，從而還可以了解教師平時是否重視分數意義的教學。

2.從下面四種形狀的硬紙板中（每種形狀的硬紙板有足夠多的張數）選6張圍成一個長方體。你準備怎樣選？并求出你圍成的長方體的體積。

對長方體的認識及其特征的測試，不要僅僅出一些填空題等測試學生對特征的了解和記憶。如本題還能測試學生對長方體特征的掌握情況，而且同時能了解學生的空間觀念、分析推理能力等，測試題的開放性、綜合性較強。

總之，從“雙基”到“四基”，增加了“基本思想和基本活動經驗”為數學課程目標，就要重新審視“雙基”的內涵，研究并形成符合時代要求的“基礎知識和基本技能”并重新定位，防止“繁、難、偏、舊”等問題重新出現，研究并改進“雙基”教學的方法與策略，真正為學生的終身發展奠定有“靈性”的基礎。

(浙江省嘉興市南湖區教研室 314000)