理解含義 學(xué)會轉(zhuǎn)化

一、問題回顧

在聽“平面圖形的面積”計算公式推導(dǎo)課時，筆者發(fā)現(xiàn)有這么一種現(xiàn)象：許多教師在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索、合作交流等方式初步得到面積的計算公式后，往往要求學(xué)生立即直接運(yùn)用統(tǒng)一的、抽象的公式去解決相關(guān)問題，其后的教學(xué)就進(jìn)入了學(xué)生反復(fù)運(yùn)用公式解決簡單問題的環(huán)節(jié)，缺少讓學(xué)生靜靜回顧、深刻領(lǐng)悟、不斷內(nèi)化公式內(nèi)涵的過程。

然而，心理學(xué)研究表明：小學(xué)生的思維還處在從具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡的階段，他們的抽象思維水平在很大程度上還依賴于形象或表象的支撐。為此，筆者認(rèn)為，此時仍要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從實物操作向表象操作再向算法操作的過渡，讓學(xué)生在進(jìn)一步的探索活動中完成對公式算法意義的深刻建構(gòu)；急于強(qiáng)化公式往往會弱化學(xué)生的過程體驗，增加學(xué)生理解的難度和記憶的負(fù)擔(dān)，不利于培養(yǎng)學(xué)生具體地、靈活地處理圖形的能力，不利于讓其充分感悟數(shù)學(xué)思想方法，不利于形成空間表象和發(fā)展空間觀念。

如在聽“圓的面積”計算公式推導(dǎo)課時，筆者發(fā)現(xiàn)，教者在引導(dǎo)學(xué)生把圓切拼成近似的平行四邊形或長方形，推導(dǎo)出計算公式后，立馬要求學(xué)生直接運(yùn)用公式進(jìn)行計算，即根據(jù)半徑、直徑或周長求面積。從表面看，學(xué)生運(yùn)用公式較嫻熟，正確率也高。但內(nèi)里情況究竟如何呢？

課后，筆者當(dāng)場檢測。題目是：把一個圓像書中那樣切拼成一個近似的長方形（長方形的寬等于圓的半徑），已知長方形的長是12.56厘米，圓的面積是多少平方厘米？大多數(shù)學(xué)生很茫然，他們弄不清轉(zhuǎn)化前后兩個圖形之間的關(guān)系，紛紛問教師圓的半徑是多少厘米？這充分說明：許多學(xué)生是單純記憶和機(jī)械套用公式，還未真正理解公式的由來和意義。為此，筆者強(qiáng)烈建議：公式運(yùn)用，請慢一拍！

二、策略建議

（一）多回顧推導(dǎo)過程

新課程重視過程經(jīng)歷和過程體驗，認(rèn)為“過程”具有重要和豐富的教育價值，要求教師在“過程”中育人。兒童往往憑借形象和表象進(jìn)行思維。為此，要將抽象的公式與直觀的圖形結(jié)合起來，發(fā)揮直觀對抽象的支撐作用，實現(xiàn)抽象公式與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化。要設(shè)計問題讓學(xué)生多回顧公式的推導(dǎo)過程，多體味其中的道理，而不是把推導(dǎo)過程只當(dāng)作臨時的“橋”，一過就拆。

筆者建議，在初步得出圓面積的公式后，可出示下列題目讓學(xué)生解答：（1）把一個圓像書中那樣切拼成長方形后，發(fā)現(xiàn)寬是3厘米。圓的面積是多少平方厘米？（2）把一個圓像書中那樣切拼成長方形后，發(fā)現(xiàn)長是12.56厘米。圓的面積是多少平方厘米？你有幾種求法？鼓勵學(xué)生用25.12×（12.56÷3.14）進(jìn)行計算。（3）一個圓的周長是25.12厘米，面積是多少平方厘米？你有幾種求法？鼓勵學(xué)生用25.12÷2×4直接計算。通過做這些題可以幫助學(xué)生回顧公式的推導(dǎo)過程，增強(qiáng)學(xué)生的具體體驗，促使其積累活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想方法，從而讓過程“扎根”，讓過程具體，為靈活地、創(chuàng)造性地解決問題創(chuàng)造條件。有了具體過程的支撐，學(xué)生即使暫時忘記了公式，也能憑借豐富的活動經(jīng)驗和鮮明的表象自主解決問題。

（二）多理解公式意義

理解是運(yùn)用的前提，運(yùn)用是理解的深化。學(xué)生會用公式進(jìn)行計算并不等于理解了公式的意義，很多時候只是一種模仿和記憶。因此，必須重視對公式意義的理解，并使學(xué)生內(nèi)化。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以借助形象理解抽象，利用抽象提升形象，從而讓抽象的形象起來，讓枯燥的生動起來，讓籠統(tǒng)的具體起來。

如在推導(dǎo)圓面積的計算公式后，教師可以出示這樣一題：一個圓的半徑是4厘米，它的面積是多少平方厘米？如果把這個圓像書中那樣轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長方形，你能畫出平行四邊形的底和高或長方形的長和寬嗎？各畫多長？（見圖1）

這樣，學(xué)生就能理解：3.14×42其實是由3.14×4×4演變而來，即用平行四邊形的底×高得到，算式就有了“生命”。

通過數(shù)形結(jié)合理解公式的意義，學(xué)生對公式的感覺就不是冰冷的、抽象的、枯燥的，而是火熱的、鮮活的、有意義的，并且是立體的、親切的。學(xué)生的思維就能自由穿梭于形象、表象和抽象之間，進(jìn)入一個十分美妙的高級境界。

（三）多創(chuàng)造轉(zhuǎn)化方法

數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)之一是使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，增強(qiáng)自主解決問題的本領(lǐng)。事實上，學(xué)生有了轉(zhuǎn)化的念頭，未必就有轉(zhuǎn)化的方法。因此，獲得具體的轉(zhuǎn)化方法在解決問題中也很重要。在平面圖形面積公式的推導(dǎo)中，雖然都是運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，但具體的轉(zhuǎn)化方法不盡相同。急于用統(tǒng)一的、抽象的公式去“一統(tǒng)天下”，會使學(xué)生失去很多自主探究、自我創(chuàng)造的機(jī)會，學(xué)生享受不到自主求異求新并獲得成功的快樂，他們對數(shù)學(xué)思想方法的體驗不會深刻，自主解決問題的能力和創(chuàng)新精神也得不到應(yīng)有的培養(yǎng)。因此，在得到一般的計算公式后，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究：還可以怎樣轉(zhuǎn)化？

筆者就曾引導(dǎo)學(xué)生把圓切割成許多相等的小扇形，用它們拼成近似的梯形、三角形，推導(dǎo)出圓面積的計算公式。其間，有學(xué)生突發(fā)奇想：劉徽曾用“割圓術(shù)”求出了圓周長的近似值，我們能否也像劉徽那樣用“割圓術(shù)”求出圓面積的近似值？一石激起千層浪，學(xué)生興趣盎然地探索起來。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生也先從圓內(nèi)接正六邊形算起，逐漸把邊數(shù)加倍，正十二邊形、正二十四邊形（見圖2）……學(xué)生發(fā)現(xiàn)，內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，面積越接近圓的面積。再把這些正n邊形從圓心開始分割成n個完全相同的小三角形，這些小三角形的面積總和越來越接近圓的面積，底邊總和越來越接近圓的周長，高越來越接近圓的半徑，最后用三角形的面積公式推導(dǎo)出圓面積的計算公式。

學(xué)生經(jīng)歷了更多的轉(zhuǎn)化過程，創(chuàng)造出多種轉(zhuǎn)化方法。這對于增強(qiáng)他們自主處理圖形能力、發(fā)展空間觀念、提升數(shù)學(xué)思考和培養(yǎng)創(chuàng)新意識等都很有意義，學(xué)生參與探究的熱情和信心也大為提升。他們汲取古人的智慧，增長自己的才干。在此基礎(chǔ)上，再鼓勵學(xué)生根據(jù)自己的理解，自主選擇計算方法，靈活計算圓的面積。

為了凸顯“過程”的育人價值，可以在課的后半部分“反戈一擊”，出示下題讓學(xué)生探索：一個扇形的弧長是6厘米，半徑是10厘米，這個扇形的面積是多少平方厘米？（圖略）從表面上看，此題較難，其實不然。教師可以引導(dǎo)學(xué)生像書中推導(dǎo)圓面積公式一樣，先把扇形對半均分，再切拼成近似的平行四邊形或長方形，根據(jù)轉(zhuǎn)化前后兩個圖形之間的關(guān)系，用6÷2×10得到；或把扇形從圓心開始，切拼成由多個相同的、近似的等腰三角形組成的圖形，這些小三角形底邊之和越來越接近弧長，高越來越接近半徑，從而把扇形轉(zhuǎn)化成三角形，用6×10÷2得到（圖略）；或用兩個完全一樣的扇形拼成一個近似的平行四邊形，平行四邊形的底越來越接近弧長，高越來越接近半徑，從而用6×10÷2得到（圖略）……學(xué)生在創(chuàng)造性地運(yùn)用中進(jìn)一步內(nèi)化推導(dǎo)過程，提升活動體驗。

這樣，先形象再抽象，先借鑒再創(chuàng)造，先理解再運(yùn)用，學(xué)生切實經(jīng)歷了具體的轉(zhuǎn)化過程，充分領(lǐng)悟了獨(dú)特的轉(zhuǎn)化方法及其價值。以后，他們在面對新的問題時就能主動遷移，自覺類比，創(chuàng)造性地解決問題。

理念決定行動，目標(biāo)引領(lǐng)教學(xué)。為了有效地幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念，增強(qiáng)自主解決問題的能力，教師理應(yīng)在直觀圖形和抽象公式之間適當(dāng)“緩行”，多走幾個“來回”，讓學(xué)生在充分的體驗中逐步完成從“動作思維—形象思維—抽象思維”的發(fā)展過程，從而充分發(fā)揮“過程”的育人價值。

由此，在探究其他平面圖形的面積、立體圖形的體積時，尤其是在第一課時，教師要特別重視學(xué)生的過程體驗，重視學(xué)生的自主探索和發(fā)現(xiàn)，重視歸納和創(chuàng)造。總之，教師在公式運(yùn)用時，請放慢一拍。

（江蘇省高郵實驗小學(xué) 225600）