抓住“三個結合” 培養學生數感

數感就是對數與數之間關系的一種感悟，即對數的一種深入理解，然后內化成一種對數的駕馭能力。這種能力包括對日常生活中數與運算有敏銳的感受力，有意識地從數學的角度去觀察、解釋和表示客觀事物的數量關系、數據特征和空間形式，善于捕捉一般問題中潛在的數學特征；能在具體的情境中把握數的相對大小關系，能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋；能用數來表達和交流信息，在解決問題時選擇適當的方法。據此，筆者從數境結合、數形結合、算用結合三個方面對學生數感形成的策略進行了初步探索。

一、數境結合，在活動中體驗數感

本文提出的“數境結合”是指數的概念教學和情境緊密結合，引導學生聯系身邊與數的概念相關聯的具體有趣的事物，通過觀察、操作、交流等豐富的活動，感受數的意義，體會數在日常生活交流活動中的作用，在學生頭腦中沿著“具體—表象—抽象”的認識過程逐步建構數的概念，使學生從中獲得初步的數感體驗。

（一）數的概念教學與具體實物相結合

數的概念具有較強的抽象性，數的概念教學如果不依附于具體形象的實物，教學活動便顯得枯燥乏味。因此，在數的概念教學中，教師可以把數與學生身邊的具體實物相結合，讓學生通過具體實物來認識數，幫助學生建立起實物與數的對應觀念，形成鮮明的計數表象，體會數的意義，理解概念的本質屬性，從而誘發數感。

例如，在教學“11～20各數的認識”一課時，教師可以讓 學生圍繞中心問題“這些小棒怎樣擺放讓別人也很快地看出是12根”進行積極的探究，然后匯報：①1根1根地擺；②2根2根地擺；③5根5根地擺還多2根；④10根一捆，再擺2根……

師：你認為哪一種擺法能很快地看出是12根？為什么？（學生各抒己見，意見很不一致，根本無法體會10根扎成一捆的優越性）

教師不作任何解釋，引導學生一起看課件。

第一幅（1根1根地擺）：| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

（畫面出現約2秒鐘后馬上消失）

師：剛才畫面上出現的是幾根小棒？（學生無奈地搖搖頭）

第二幅（2根2根地擺）：|| || || || || || || || || || | （方法同上）

第三幅（10根扎成一捆） ：|（學生非常興奮，異口同聲地說：21根）

師：其實三幅畫面上都是21根。現在你喜歡哪一種擺法？

生：我喜歡10根扎成一捆的擺法。

生：我也喜歡10根扎成一捆的擺法。（學生的意見基本統一）

認識11～20各數，是學生對數的認識的一次飛躍，讓學生建立十進制的概念，理解計數單位“十”是培養數感的基礎。圍繞“怎樣擺放讓別人也很快地看出是12根”這個問題，在教學中巧妙地設計了三種方法，通過比較體驗10根扎成一捆這種方法的優越性。這種結合具體實物的教學，突破了10個一就是1個10的教學難點，從而使學生理解了數的意義，建立了正確的數的概念，為培養數感奠定了扎實的基礎。

（二）數的概念教學與操作活動相結合

數的概念教學具有高度的抽象性，而小學生的抽象概括水平較低，他們在認知過程中很難從現成結論中真正理解和掌握數學知識。操作活動是學生多種感官的協同活動，是對客觀事物動態感知的過程。數與操作相結合是指在數的概念教學過程中，適時給學生提供學具，讓學生通過擺一擺、分一分、看一看、數一數、量一量、畫一畫等活動，進行感知性操作，使數的概念具體化、形象化、趣味化，幫助學生形成數感。

例如，在“分數大小的比較”的教學中，教師在學生認識了一些簡單的分數后進行了操作與探索：請同學們拿出相同大小的長方形紙，通過折一折、比一比，你發現了什么？學生經過自主探索，歸納出結論：分子不變，分母越小，每份就越大；反之，分母越大，每份就越小。通過簡單分數大小比較，使學生初步建立了分數大小的表象，學生通過動手操作、自主探索，加深了對分數的認識。

又如，在教學實際測量時，教師就應該讓學生到操場上去走一走、跑一跑、測一測、量一量，這樣學生就能深刻感受50米、100米、400米的距離。在教學質量單位時，教師可以讓學生看看、稱稱、掂掂各種物體，也可以嘗嘗幾克零食，讓學生親身感受1克、100克、1千克的實際重量。這樣的操作活動深受學生的喜愛，不僅幫助學生建立起長度和重量單位的概念，還能使學生對數學學習充滿樂趣并獲得數感的體驗。

（三）數的概念教學與語言交流相結合

抽象思維的發展同語言交流緊密相關，數的概念教學與語言交流相結合，就是教學中為學生創設交流平臺，通過傾聽、思辨、表達等活動，讓學生在具體的語境中互相啟發、互相學習、互相借鑒，體會數可以用來表示和交流信息，從而拓展思維，豐富對數的認識，促進數感的形成。

例如，在教學“小數的意義”時，筆者通過數學游戲幫助學生理解小數的意義。游戲規則是：請一位同學說一個小數，其余的同學在提供的正方形圖中用鉛筆涂色表示出來。

生（報數）：0.6。其余同學涂。（投影展示作品，見上圖）

師：你能說說你是怎么想的嗎？

生：因為0.6就是把一張紙平均分成了10份，取其中的6份。

師：好，接下來請同學再說一個兩位小數。（生說0.05，用同樣的方法交流學習，然后學習0.65的意義）

師：0.65怎么涂呢？（學生操作，教師先展示一位同學的答案）

師：你是怎么想的，能說說嗎？

生：若取了5格就表示0.05，那么0.65我就取65格表示。

師：你能告訴大家0.65里面又有幾個0.01嗎？

生：有65個！

師：大家表示的都和他一樣嗎？（這時有一位同學表示了不同意見）

師展示作品。

師：你能說說你的想法嗎？

生：因為前面已經表示了0.6和0.05，所以我直接用前面的兩張正方形的紙加在一起表示。

師：好！有哪位同學聽懂了他的表示方法？（許多同學舉起了手）

師（請其中的一位同學）：請你來說說！

生：他的意思是把0.65拆開來，分成了0.6和0.05，再分別用紙表示出0.6和0.05。

……

學生在交流中不斷體驗小數各數位間的關系，學生的思維活躍，在交流中加深了對小數的組成和小數的意義的認識。在操作交流中不斷體驗、建構小數的概念。

又如，筆者在教學“升和毫升”時，練習中要求學生會看刻度說出水的體積。圖示為：一個量筒裝有1000毫升水，另一個量筒裝有700毫升水，倒在一起是多少呢？學生看圖后想出了多種方法：有的說1升700毫升；有的說1.7升；有的說1700毫升；有的說1升。學生用多種方法表示同一個數量，通過討論驗證這些方法都是正確的。說明相同的水的體積，可以用整數表示，也可以用小數和分數表示。這樣學生就在分數、小數、整數之間建立起了聯系，豐富了對數的認識，進一步發展了數感。

二、數形結合，在直觀中內化數感

“數形結合”是數學教學中重要的數學思想，在數學實踐中有著廣泛的應用。本文的“數形結合”意指學生數感培養的一種策略，就是在數與運算的教學中，借助于直觀形象的圖形表征展開教學。將抽象的運算意義和算理等形象化、簡單化，給人以直觀感，為數與運算的教學搭建思維的橋梁，拓寬學生對運算教學的理解，從而內化為數感。

（一）算理教學與圖形表征相結合

算理教學與一定的圖形表征相結合是抽象思維與形象思維的有機融合，能形象地揭示運算原理，拓寬學生對運算意義的理解。

例如，在“分數除法”教學中，在教學“÷2”時，筆者先讓學生通過長方形紙片探究分數除法的算理。

師：把一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？

生：÷2

師：÷2等于多少呢？你們先自己估計一下。

學生紛紛認為等于，但說不出理由。

師：同學們估計得對不對呢？我們可以用長方形紙來驗證。

教師指導學生先表示出 ， 再把 部分涂上顏色。如圖1。然后結合圖2、圖3啟發學生思考：把平均分成2份，就是把4個平均分成2份，每份就是2個，就是。再結合圖3啟發學生思考：把平均分成2份，每份就是的，也就是×，進而推出÷2=×=。在這個過程中，學生將形和數緊密地聯系起來，借助圖形理解了分數除法的算理，掌握了計算法則。

又如，在計算++++++時，按照常理學生會按照異分母分數加減法的計算法則，先通分，再按照同分母分數的加法進行計算。如果我們在解答時借助下圖把問題隱含的規律外化出來，問題就可以得到實質性的解決。只要計算1-=就得到了本題的正確答案，計算方法的簡便性和靈活性就得到了體現。在本題的解答過程中，算理教學與圖形表征相結合，促進了學生對算理的理解，也培養了學生的數感。

（二）運算定律與圖形表征相結合

運算定律與圖形表征的結合是指在運算定律的教學中，借助圖形表征使抽象的運算規律形象直觀地呈現出來，便于學生探究和學習。同時在數與形的結合、轉化過程中，也發展了學生的數感。

例如，在“積的變化規律”教學中，筆者先出示一個長方形（如上圖）。

師：看，這是一個長方形。想一想，你會求它的面積嗎？

生：長方形的面積是20×12=240（平方米）。

（板書：20×12=240）

師：長×寬=長方形的面積，這個長方形的面積是240。接下來，老師想給它變一變，睜大眼睛仔細看。（課件出示：寬擴大3倍）猜一猜，現在面積是多少呢？

生：可能是720。

生：720。

生：900。

師：猜出這么多的答案，你們覺得哪個更準確些？有不同的嗎？

生：240×3=720。

師：你是怎么想出來的？（板書：240×3=720）

生：面積擴大了3倍。

師：3是怎么發現的？從哪里看出來的？

生：寬擴大了3倍。

師：還有不同的算法嗎？

生：12×3=36，36×20=720。

師：我們現在算出來的面積都是720。那它的面積到底是不是720？我們來驗證一下。（課件重疊分成3份）

師：面積跟原來比，發生了怎樣的變化呢？

生：長不變，寬擴大了3倍，面積也擴大了3倍。

……

然后引領學生從其他幾個方面探究長方形面積的變化，最后從長方形的面積變化規律中總結出了積的變化規律，使抽象的數學規律借助于長方形面積的表征，直觀形象地展現在學生面前，學生既收獲了數學規律的無窮魅力，更激發了探究的無限樂趣。

三、算用結合，在應用中強化數感

數感也包括學生運用數與運算及其簡便性知識靈活地解決實際問題的能力。因此，在實際應用中，教師要培養學生合理選擇計算方法，靈活地估計運算結果，讓學生在算用結合中強化數感。

（一）估算與應用相結合

生活中很多時候都要用到估算。課程標準也指出，估算相對于精確計算在日常生活中有著更廣泛的實際應用，更是發展學生數感的有效途徑之一。因此，教師在教學中要善于抓住各種有利時機，改變學生對估算的認識，讓學生感受估算的魅力，增強估算意識，逐漸養成良好的估算習慣，從而發展學生的數感。

例如，“一本書9元，全班52人，全班每人買一本大約需要多少元？”在估算過程中有的學生認為：“10×50 = 500，估計在500元左右”；有的學生認為：“10×52 = 520，不到520元”；有的學生可能說：“9×50 = 450，肯定比450元多”。對于這些方法，教師都應該加以鼓勵，并為他們提供合作交流的機會，讓他們在相互交流中，比較各種算法的特點，不斷完善自己的估算方法，逐步發展估算的意識和策略，從而將估算內化為一種自覺、自主的意識，進而形成一種習慣，使學生在不斷地估算中發展自己的數感。

在解決問題的計算中，教師不僅要重視計算的結果，還要把計算結果在實際問題中的合理性作出判斷，這是數感發展的重要途徑。例如，對于“運載532位乘客需要多少輛設有42座的公共汽車”這樣的問題，學生最初明確的方法是除法，通過計算，他們能很快根據四舍五入法得出13輛這樣的答案，此時需要通過追問“13輛汽車夠了嗎”引導學生根據實際情況靈活合理地選擇計算結果，感知計算結果的合理性，從而發展數感。

（二）簡算與應用結合

利用運算的簡便性解決實際問題是數感培養的重要途徑之一。這樣既能讓應用成為學生理解簡便計算方法及其算理的經驗支撐，又能使解決問題能力與計算能力同步提高。

例如，這樣一個案例：

六年級各班上學期消費桶裝礦泉水情況

班 級六（1）班六（2）班六（3）班六（4）班

礦泉水（桶）102117118103

如果每桶礦泉水8元，六年級共需要付礦泉水費多少元？消費礦泉水最多的班級比最少的班級相差多少元？此題的教學要求不僅僅是獲取計算的結果，而是要求教師能引導學生根據數據特點，靈活選用合理、簡便的計算方法，培養和提高學生靈活、合理地選擇計算方法的習慣和能力，促進學生數感的發展。

又如，在計算“256-99”時，學生在理解“256-100+1”時，喜歡用購物問題中的錢來表示一種關系。如一共帶了256元去購物，應付99元，實付100元，應找回1元，把計算算理與實際問題有機結合，借助實際應用理解計算的簡便性與靈活性，使數感得到強化。

總之，數感的培養是數學教學中的一項長期任務，數感的形成是一個漸進的、不斷積累的過程。在課堂教學中教師要抓住“三個結合”，培養學生的數感，讓學生在“數境結合”中體驗數感，在“數形結合”中內化數感，在“算用結合”中強化數感，實現數感的培養與數學教學的和諧發展。

（浙江省天臺外國語學校 317200）