《課標》估算例題之難

本刊2012年第11期《教科書中的“大約”與估算》一文，從不同版本教科書中出現的“大約”一詞的各種用法，分析了估算與通常的計算、簡算以及近似計算的差異，并且歸納出了估算問題設計的基本原則。而在小學數學各個版本教材中有一類問題目標中含有“夠不夠”和“能不能”的估算問題，往往使教師在教學實踐中備感困惑。因此，筆者試圖對這一類問題的特征做一些分析。

一、問題的來源

如今小學數學課程與教學內容中，“夠不夠”的估算問題應當來源于2001年公布的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中的兩個案例。如第14頁的例5為：“如果公園的門票每張8元，某校組織97名同學去公園玩，帶800元錢夠不夠？”第22頁的例4為：“李阿姨想買2袋米（每袋35.4元）、14.8元的牛肉、6.7元的蔬菜和12.8元的魚。李阿姨帶了100元，夠嗎？”

2011年公布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》第87頁的例26，把這一問題修改為如下的形式：“李阿姨去商店購物，帶了100元，她買了兩袋面，每袋30.4元，又買了一塊牛肉，用了19.4元，她還想買一條魚，大一些的每條25.2元，小一些的每條15.8元。請幫助李阿姨估算一下，她帶的錢夠不夠買小魚？能不能買大魚？”[1]這不僅沿襲了“夠不夠”的問題，還增加了“能不能”的問題。

此類問題難教、難學已經成為不爭的事實。例如下面有關北京某小學三年級的期末試卷的案例。（見圖1）

其中的問題敘述為：“四年級有45名女生參加合唱表演，請你給他們選擇一套服裝（兩種服裝單價分別為126元和109元），并估算一下需要多少錢？如果采購員帶5500元錢，夠嗎？”

命題者的意圖應當是讓學生先依據兩種服裝的單價估計，5500元買單價109元的服裝可能夠。把109放大為110，45放大為50，計算出“110×50=5500（元）”，由于都是通過放大進行的估算，因此實際的花銷一定比5500元少，說明“5500元買45套單價為109元的服裝一定夠”。

而圖1中學生的解法是先準確計算出購買單價為109元的服裝需要“109×45=4905（元）”，其實此時通過4905元與5500元的比較已經可以得到“夠”的判斷，學生還是多此一舉地寫出“4905≈4900”。顯然與命題者所期望的思考方式不同。由此說明，表面看估算應當比精確計算簡單、快捷，但學生在解決此類問題的過程中寧可使用精確計算的方法，也不愿意采用估算的方法，這究竟是什么原因呢？

二、估算過程之繁

下面以《義務教育數學課程標準（2011年版）》中的例26為例，詳細分析運用估算解決問題與精確計算的差異所在。題目中包含了兩個問題，第一個是“100元夠不夠買小魚”，第二個是“100元能不能買大魚”，對于第一個問題，可以按照要素分解的方式分析其思考過程。

無論是否使用估算，首先要知道“夠不夠”的問題實際就是比較“30.4×2+19.4+15.8”的計算結果與“100”的大小。如果前者大于100，就可以得到“不夠”的結論；如果小于或等于100，就可以得到“夠”的結論。假如不使用估算，接下來只需要直接計算出“30.4×2+19.4+15.8”的結果為96，明顯看出10096，立刻就可以得到“夠”的結論。如果使用估算，要思考的內容就煩瑣得多了。

首先要考慮對于“30.4×2+19.4+15.8”中的30.4、19.4和15.8這三個數，分別應當放大還是縮小？這個問題的答案并不容易得到。相當于不是通過計算直接比較兩個數的大小，而是要尋找一個中間數間接地比較兩個數的大小。這個中間數（不妨用字母M表示）所應當符合的條件是受問題的結論制約的。

如果結論是“夠”，也就是“100”大于或等于“30.4×2+19.4+15.8”的結果，那么這個中間數M就應當大于“30.4×2+19.4+15.8”的結果，并且小于或等于100。也就是中間數M要符合如下的不等式：

30.4×2+19.4+15.8

在這種情況下尋找中間數M，自然需要對“30.4×2+19.4+15.8”進行放大的變化。如果結論是“不夠”，那么這個中間數M就應當小于“30.4×2+19.4+15.8”的結果，同時又要大于或等于100。也就是中間數M需要滿足如下不等式：

30.4×2+19.4+15.8>M≥100

這時尋找中間數M，就需要對“30.4×2+19.4+15.8”進行縮小。這就說明，不同的結論使得中間數M與要比較的兩個數之間的關系是不一樣的。因此尋找M之前，也就是要在決定應當對“30.4×2+19.4+15.8”進行放大還是縮小之前，必須先知道問題的結論是“夠”還是“不夠”。這里實際上就出現了一個“因果倒置”的矛盾現象，解決問題的自然過程是通過放大或縮小“30.4×2+19.4+15.8”比較其與100的大小，而選擇是放大還是縮小，又需要依據“30.4×2+19.4+15.8”與100的大小關系來判斷。因此，解決此類問題的思路實際上是先猜測結論，然后進行證明。不要說是小學生，就是經驗豐富的數學家遇到這樣的問題也會皺眉頭。

如果猜測結論是“夠”，那么可以確定應當對“30.4×2+19.4+15.8”進行放大。接下來需要思考：要將30.4、19.4和15.8這三個數分別放大為哪幾個數，無論是放大還是縮小，實際上就是對參與運算的數進行變化，可以把這個變化了的數叫作相對于原數的“近似數”，這樣的近似數至少應當符合兩個條件。第一是能夠簡化計算，為了簡化計算，自然的想法是就近將小數變為整數，最好是整十數。第二是變化的方向和幅度不能違背或超越解決問題的需要。

對于上題中30.4、19.4和15.8這三個數，分別放大為31、20和16，那么“30.4×2+19.4+15.8”的計算就變為了“31×2+20+16=98”的計算，顯然簡化了計算。

另外，由于30.4×2+19.4+15.8<98<100，可以知道30.4×2+19.4+15.8<100。因此可以得出“100元夠買小魚”的結論。據此可以說以上所取近似數是合理、正確的。而在實際教學中能夠引導學生想到這樣合理、正確的近似數并非易事。

可能出現的第一個問題是方向錯誤，比如前面的“30.4”，為了簡化計算很容易想到將其變為最近的整十數“30”，而不是“31”，導致的結果是將算式“30.4×2+19.4+15.8”的結果縮小了，自然就違背了解決問題的需要。另外一個可能出現的問題是變化的幅度過大，比如上題中的“15.8”，如果為了簡化計算將其放大為最近的整十數“20”，那么算式的結果就變為：31×2+20+20=102。此時相當于得到了如下的兩個不等式：

30.4×2+19.4+15.8<102

100<102

從這兩個不等式并不能判明“30.4×2+19.4+15.8”的結果與100的大小關系，其原因就在于將“15.8”放大為整十數“20”的變化幅度過大了。因此尋找近似數如果變化幅度過大，就會使得估算成為無效勞動。

綜上可以看出，運用估算的方法解決“100元夠不夠買小魚”這一問題，其思維含量遠遠大于運用精確計算直接去思考。這一點可以從表1的對比中明顯看出。

對于“能不能買大魚”的問題，與前面“夠不夠買小魚”的問題類似，首先需要對“能”或“不能”這兩個結論有一個選擇性的判斷。如果判斷結論是“能”，就需要通過適當放大算式“30.4×2+19.4+25.2”找到中間數M，進而證明“30.4×2+19.4+25.2”的結果不超過100。如果事先判斷的結論是“不能”，就需要通過適當縮小算式“30.4×2+19.4+25.2”尋找中間數M，而且這個中間數M不能小于100，也就是通過下列不等式：30.4×2+19.4+25.2>M≥100，證明了“30.4×2+19.4+25.2>100”，從而得到“100元不夠買大魚”的結論。其思考過程與精確計算的思考過程的對比可以從表2中明顯看出。

以上對比分析表明，運用估算的方法解決問題，從算式的計算程序來看，其強度和難度都有所下降。但從解決問題整體思維的角度看，其思維含量卻大大增加了。因此學生在解決問題的過程中，寧可使用精確計算，也不愿意去使用“煩瑣”的估算。

三、難在哪里

導致學生學習困難的內容通常有兩個特點，第一是學生不熟悉，也就是學習內容與學生熟悉的知識和經驗缺少聯系。估算這一內容通常是在學生已經熟悉了精確計算的基礎上開始學習的，在遇到一個需要解決的問題的時候，學生自然而然地會首先采用已經熟悉的精確計算。第二個特點是學習內容的復雜性，也就是與之相關聯的因素較多。[2]相對于精確計算，估算就具有這種復雜性的特點。

估算是人們追求計算簡捷的產物，這種簡捷一方面會帶來算法的個性化與多樣化，同時又需要建立在相應的運算能力基礎之上。比如前面“100元夠不夠買小魚”的問題中，從追求簡捷的角度看，算式“30.4×2+19.4+15.8”可以有多種變化形式，比如“30×2+19+15”或“30×2+20+20”等等。如果單純考慮計算的簡捷性，應當分別把30.4、19.4和15.8變為就近的整十數，也就是把算式“30.4×2+19.4+15.8”變為“30×2+20+20”進行計算。

但這樣做并不能明確這個算式的結果相對于原來算式是變大了還是變小了，自然也就無法達成判斷“夠不夠”的問題目標。由此看出，估算策略的選擇是與問題目標的達成直接相關聯的。正是這種估算策略的多樣性及其與問題目標的依賴性構成了估算的復雜性特征，這種復雜性無疑是導致學生學習困難的重要原因。下面以人民教育出版社出版的數學教科書四年級上冊中的一個問題為例進一步說明這一點。（見圖2）

問題：四年級同學去秋游。每套車票和門票49元，一共需要104套票。應該準備多少錢買票？（見圖2）

如果采用精確計算，只需要計算：49×104=5096（元），就可以達到“需要準備5096元”的問題目標。

如果采用估算，為了達到問題目標就需要回答兩個問題，第一是“準備多少元錢”，第二是“這些錢夠不夠”。教科書中給出的一種算法為：

49≈50

104≈110

50×110=5500

由此得到“應該準備5500元”的結論。由于估算的過程是將“49”和“104”分別放大為“50”和“110”，所以利用不等式：49×104<50×110=5500，可以知道5500元一定是夠的。

教科書中給出的另外一種算法為：

49≈50

104≈100

50×100=5000

這種估算的過程是將“49”放大為“50”，將“104”縮小為“100”。在一個乘法算式中，一個因數擴大，另一個因數縮小，那么乘積有可能擴大，也有可能縮小。因此“5000元夠不夠”就不是一個容易回答的問題了。可以運用乘法的意義思考，“49”變為“50”增加了“1”，意味著乘積增加了一個“104”；“104”變為“100”減少了“4”，乘積就會減少四個“49”，由于49×4=196>104，所以“50×100=5000”一定比原式“49×104”小，因此得到結論“5000元不夠”。這樣的思考過程顯然要比直接采用精確計算復雜得多了。

教科書中最后的問題是要比較兩種估算過程哪一種好一些。（見圖2）命題者的意思或許是認為前一種估算達到了問題目標，所以比后一種估算要好。事實上，估算的方法是多樣的，后一種估算依據的是“盈虧互補（Compensation）”策略，[4]也就是對算式中參與運算的數進行恰當的增減，進而使得計算變得簡捷。這一估算策略也被經常采用，而且是有效的。比如前面“100元夠不夠買小魚”的問題中，對“30.4×2+19.4+15.8”就可以按“盈虧互補策略”進行估算：

“30.4”縮小為“30”，減少了“0.4”，算式結果就會減少“0.8”；

“19.4”擴大為“20”，增加了“0.6”，算式結果也增加了“0.6”；

“15.8”擴大為“20”，增加了“4.2”，算式結果也增加了“4.2”。

由于增加的“0.6”與“4.2”的和是“4.8”，大于減少的“0.8”，所以改變后的算式的結果為：30×2+20+20=100，一定大于原算式的結果。因此就得到“100元夠買小魚”的結論。

綜上，相對于精確計算來說，估算的復雜性體現于估算方法的多樣性以及針對問題目標的選擇性方面。因此，估算教學僅把重點放在估算方法或策略方面是不夠的。應當把估算的過程看作是一個系統，這一系統體現的是計算的簡捷性、方法的多樣性以及針對問題目標的選擇性三方面的互動。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京師范大學出版社，2011：87.

[2]郜舒竹. 為何探究不出來——兼談難點的分析方法[J]. 人民教育， 2009（4）.

[3]課程教材研究所，小學數學課程教材研究開發中心. 義務教育課程標準實驗教科書四年級上冊[M]. 人民教育出版社， 2004：60.

[4]郜舒竹. 估算方法知多少[J]. 教學月刊， 2012（10）.

（首都師范大學初等教育學院 100048）