探究數(shù)學(xué)建模中創(chuàng)造性思維的技術(shù)

梁軍

【摘要】創(chuàng)造性思維技術(shù)的使用是至關(guān)重要的，但創(chuàng)造性思維技術(shù)的理論依據(jù)、如何培養(yǎng)，長(zhǎng)期以來(lái)一直是比較模糊和較為抽象的.通過(guò)對(duì)典型數(shù)學(xué)模型分析，在哲學(xué)理論指導(dǎo)下，揭示創(chuàng)造性思維技術(shù)的本源、產(chǎn)生發(fā)展過(guò)程和使用方法，獲得培養(yǎng)創(chuàng)造性思維技術(shù)的途徑.

【關(guān)鍵詞】創(chuàng)造性思維；數(shù)學(xué)建模；哲學(xué)思想

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)著重于邏輯思維的教學(xué)，而忽視創(chuàng)造性思維的教學(xué).江澤民：創(chuàng)造力是一個(gè)民族發(fā)展不竭的動(dòng)力源泉！人的創(chuàng)造性從何而來(lái)？如何發(fā)生的呢？探討這個(gè)問(wèn)題應(yīng)溯本求源，哲學(xué)研究的是關(guān)于整個(gè)世界的最一般規(guī)律！

要用唯物主義世界觀、辯證法分析解決問(wèn)題.運(yùn)用量變與質(zhì)變的觀點(diǎn)，堅(jiān)持不懈地探索新的可能性，大膽嘗試達(dá)到質(zhì)的飛躍；用辯證的否定的觀點(diǎn)，去除禁錮思維的條條框框，從更廣闊的視角認(rèn)識(shí)事物.用矛盾的普遍性與特殊性的關(guān)系，破除陳舊的經(jīng)驗(yàn)，沖破矛盾特殊性的束縛，深入事物本質(zhì)探索矛盾的普遍性；用事物普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，跨越事物間傳統(tǒng)的界限尋找新思路.只有在科學(xué)理論指導(dǎo)下的實(shí)踐才能符合客觀規(guī)律，才能有效地培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.

我們以一個(gè)經(jīng)典數(shù)學(xué)模型小蟲與橡皮繩悖論的多種解法為切入點(diǎn)，說(shuō)明創(chuàng)造性思維的技術(shù)手段是如何運(yùn)用的.

題目1（離散型） 在橡皮繩（繩長(zhǎng)100 cm）的一端，一條小蟲以每秒1 cm的速度沿橡皮繩爬行.在1秒鐘之后，橡皮繩就像橡皮筋一樣拉長(zhǎng)為110 cm；再過(guò)一秒鐘后，它又拉長(zhǎng)為120 cm.如此下去，小蟲最后究竟會(huì)不會(huì)達(dá)到終點(diǎn)呢？

一、如何運(yùn)用量變與質(zhì)變的觀點(diǎn)做到深刻的思維

事物的發(fā)展過(guò)程是量變和質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一.質(zhì)量互變規(guī)律決定了創(chuàng)造性思維的方法：在認(rèn)識(shí)和改造客觀努力的過(guò)程中，創(chuàng)造者應(yīng)當(dāng)積極探索，不斷積累，在量變基礎(chǔ)上尋找適宜的突破口，促使其盡早發(fā)生質(zhì)的飛躍.

題目1 解法一（整體法）：因?yàn)槔K子均勻變長(zhǎng)，小蟲爬的時(shí)候，位移會(huì)隨著繩的增長(zhǎng)逐漸變大，所以位移就不是1 cm/s，會(huì)逐漸變大.又繩子均勻增長(zhǎng)，小蟲在第一秒爬了繩子的1100，第二秒爬了繩子的1110……第n秒爬了繩子的1100+10n，由每一秒運(yùn)動(dòng)距離占全程的分?jǐn)?shù)，逐步積累到全程的百分之百即S=1時(shí)，求出其中的n即是到達(dá)另一頭的時(shí)間！列出小蟲爬行距離的分?jǐn)?shù)之和S的計(jì)算式：

S=1100+1110+…+1100+10n+…

=110110+111+112+…+110+n….（1）

由調(diào)和數(shù)列近似求和公式（當(dāng)n很大時(shí)）：

1+12+13+…+1n≈lnn+ 0.57722.（2）

1+12+13+14+…+19≈2.83.（3）

綜合（1）（2）（3），得到10≈lnn+0.57722-2.83，解得n≈208981.29（秒）.

上述解法思維切入點(diǎn)是每一秒運(yùn)動(dòng)距離占全程的分?jǐn)?shù)，逐步積累到全程的百分之百，即由量的積累達(dá)到質(zhì)變；同時(shí)在知識(shí)運(yùn)用上綜合了小學(xué)、中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，這種系統(tǒng)的學(xué)習(xí)就是量的積累過(guò)程.質(zhì)變也可以發(fā)自于當(dāng)前信息的更為仔細(xì)的注意，以及對(duì)這些信息的意義更為敏感的靈活的把握.看起來(lái)似乎沒(méi)有線索的地方探索線索是創(chuàng)造性思維中最根本、最強(qiáng)大的策略之一.

二、如何運(yùn)用辯證的否定的觀點(diǎn)獲得思維質(zhì)的飛躍

事物的發(fā)展是辯證的否定.否定之否定階段，事物會(huì)出現(xiàn)維持某些原有的性質(zhì)和現(xiàn)狀，這不是原有事物簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是在更高的層次上達(dá)到更新的程度.這正是創(chuàng)造性思維的本質(zhì)所在.

從數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性來(lái)看，解法一的計(jì)算結(jié)果欠精確，這正是辯證的否定的出發(fā)點(diǎn).鑒于數(shù)列的迭代特征及軟件能快速有限次迭代的運(yùn)算特點(diǎn)，運(yùn)用QBasic程序語(yǔ)言設(shè)置題目的限制條件，達(dá)到精確解決問(wèn)題的目的.

題目1 解法二（程序法）：設(shè)m為繩子長(zhǎng)度，v為小蟲爬行距離，n為繩子拉伸次數(shù).用QBasic編寫計(jì)算程序m=100：v=0：n=0： while（v比較以上兩種解法，體現(xiàn)了運(yùn)用程序迭代的精度更高，更貼近實(shí)際.由直覺(jué)思維對(duì)解法一辯證的否定從而達(dá)到更廣闊的思維層次.

題目2（連續(xù)型） 設(shè)有一條繩子長(zhǎng)100 cm，而且每秒均勻拉伸10 cm，同時(shí)一只蟲子從繩子的一端爬向另一端，爬行速度每秒1 cm，問(wèn)蟲子能否爬到另一端？

三、如何運(yùn)用矛盾的普遍性與特殊性的關(guān)系達(dá)到思維的跨越

矛盾的普遍性存在于特殊性之中，普遍性通過(guò)特殊性表現(xiàn)出來(lái).利用矛盾的特殊性推演矛盾的普遍性，探尋特殊事物的一般規(guī)律，正是數(shù)學(xué)歸納思想的體現(xiàn)，由此及彼達(dá)到思維的跨越.

題目1（離散型） 可以看作特殊性，將其改編為題目2（連續(xù)型），連續(xù)型模型視為普遍性，由此可以建立微分方程解決問(wèn)題.靈感來(lái)自于相關(guān)事物的模仿，是跨越式思維最為常用的方法.

題目2 解法一（微分法）：設(shè)t時(shí)刻小蟲與原點(diǎn)的距離為x（t），繩子總長(zhǎng)為 L（t），則L（t）=100+10t.

因?yàn)樾∠x的移動(dòng)速度v（t）=dx（t）dt=小蟲主動(dòng)爬行速度1 cm/s+x（t）處的繩子伸長(zhǎng)速度，可得微分方程dx（t）dt=1+10·x（t）L（t）=1+x（t）10+t，由初始條件x（0）=0，解得微分方程的唯一解x（t）=（10+t）ln1+t10，設(shè)T代表爬到終點(diǎn)所用時(shí)間，則x（T）=L（T），即（10+T）ln1+T10=100+10T，則T=10（e10-1）≈220254.7（秒）.

當(dāng)我們遇到具體問(wèn)題無(wú)從下手時(shí)，我們就將具體問(wèn)題推演為問(wèn)題的普遍形式，運(yùn)用這種方法需要思維的跨越.當(dāng)然，這種思維的跨越僅停留在傳統(tǒng)的既定的范式之中.

四、如何運(yùn)用事物普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)獲得豐富的聯(lián)想思維

用事物普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)，跨越事物間傳統(tǒng)的界限尋找新的思路.靈感頓悟的產(chǎn)生經(jīng)常是將原本分立的不同參照系連接起來(lái)，創(chuàng)造性的思維實(shí)際上都超越了既定的范式，往往跨越到另一個(gè)參照系，然后將它們有機(jī)地結(jié)合在一起.

題目2 解法二（物理法）：勻速吹脹的氣球是一個(gè)物理模型.把題中的橡皮繩兩端接起來(lái)成為一個(gè)圓圈，設(shè)想它就是氣球的赤道.氣球不斷吹大，使赤道周長(zhǎng)以10 cm/s的速度均勻變長(zhǎng).原問(wèn)題就變成：赤道上小蟲能爬滿一圈回到起點(diǎn)嗎？

由于赤道是均勻膨脹的，那么蟲子不爬的話，就不會(huì)有相角變化，即球面大小的變化僅賦予了蟲子徑向速度分量，而蟲子的周向速度分量不受影響，始終是其本身的爬行速度1 cm/s.因此蟲子的爬行軌跡是一條等角螺線.

在時(shí)刻t，赤道周長(zhǎng)C=100+10t，半徑R=C2π，所以蟲子的角速度ω=1R=2π100+10t，

蟲子爬行的角度θ=2πА要瑃0dt100+10t=π5ln（10+t）瑃0=π5ln1+t10，由θ=2π可算出t=10（e10-1）（秒）.

該解法將數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系到物理模型，只有發(fā)現(xiàn)了不同系統(tǒng)中相同的本質(zhì)特征，才會(huì)出現(xiàn)這種跨越式思維方法.因此，只有博學(xué)、集思廣益、多實(shí)踐，在類比的基礎(chǔ)上獲得豐富的聯(lián)想思維.

五、結(jié)束語(yǔ)

總之，從探究問(wèn)題的過(guò)程來(lái)看，它表現(xiàn)在隨新的條件而迅速確定解題方向，能從已知因素中看出新因素，從隱秘的形式中抓住實(shí)質(zhì)的能力.它是創(chuàng)造性思維最生動(dòng)的核心，主要體現(xiàn)在：其一，思維的連動(dòng)性，由此及彼，全力的邏輯推理；由表及里，縱向探察的思維能力.其二，思維的跨越性，在思維進(jìn)程上省略思維步驟，迅速完成“虛體”與“實(shí)體”之間轉(zhuǎn)化的直覺(jué)思維.

【參考文獻(xiàn)】

王輝.創(chuàng)造性思維的機(jī)制和方法[D].鄭州大學(xué)碩士學(xué)位論文，2004-05-01.