小學數學推理思維培養中的遞進與跨越

陳繼東

數學源自于古希臘語，是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。悠久的學科必有其奧妙之處。信息技術在小學數學教學中的應用，能夠讓學生感受其中奧妙，這扇奧妙之門的開啟，也是他們的思維通向闊達、廣博的開始。小學生的數學思維主要包括抽象思維、觀察能力、空間想象力、統計能力和初步的演繹推理能力等。其中，推理能力是指通過觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，并能有條理且清晰地闡述自己的觀點。那么如何通過課程整合來培養學生的數學推理思維呢？

● 拆分與重組，推導數學概念

數學給小學高年級學生的普遍感覺是枯燥、乏味、抽象、無趣的，尤其是概念課，教師教得辛苦，學生死記硬背，效果卻不盡如人意。那么如何把一節枯燥的數學概念課教“活”，讓學生在充滿信心與樂趣中“活”學？筆者發現，如果教師善于發掘概念的內在特點及結構，將概念“拆解”、“細分”后，讓學生通過自主的探索與研究實現概念的“重組”、“聯結”，那將會使學生從被動接受、缺乏信心轉變成主動探究、親身經歷概念形成的完整過程。有了信息技術的支持，這一設想將更加容易實現。于是，在教授《探索5和2的倍數的特征》時，我將5的倍數這一概念進行了拆分：

師：判斷下面4個兩位數是不是5的倍數？（展示網絡課件）學生回答，說理）。

20、35、45、54

師：請你猜想一下，如果在這些數的最高位前面任意添上一個或幾個數字，這些新數還是不是5的倍數？如果在原數的數位中間添加數字呢？我們來驗證一下。

教師要求學生分成兩組，分別在最高位及數位中間添加數字并重新判斷。分別匯報驗證結果。出示結論1、結論2（如圖1）。

圖1

師：既然5的倍數的特征與最高位、中間數位上的數都無關，是否就與個位上的數字有關呢？我們也來驗證一下。

學生操作，驗證，匯報。出示結論3（如圖2）。

圖2

由于本課在網絡環境下進行教學，學生人手一臺電腦，每位學生都參與其中，因此，信息技術減輕了學生在任意添加數字后的驗證負擔，大大提高了教學效率，而教師的作用主要是對學生“重組”與“聯結”概念加以引導，培養他們按順序、有條理、更全面地分析與歸納問題的方法與習慣。

● 由“5”到“2”的思維遞進

由于學生已經掌握了學習5的倍數特征的方法，此處讓學生進行自主學習，經歷觀察、猜測、驗證、交流、反思、歸納等過程，才能真正實現學生認知結構的自主建構。在活動中教師引導學生把操作、觀察與語言表達緊密結合，既鞏固了所學知識，又實現了數學推理思維的遞進。

師：請你們參照剛剛學習5的倍數特征的方法，判斷下面6個兩位數是不是“2”的倍數？

10、26、58、74、82、93

學生分組、合作，分別嘗試在這些數的最高位、數位中間及數的末位添加數字，再分別交流、匯報結果。逐一出示結論1、結論2、結論3及小結（如圖3）。

圖3

練習：請把下面的數按要求拉入對應的圈內(如圖4)。

圖4

學生獨立操作完成，教師選其中幾個數請代表說理（也可請男生和女生輪流讀數、判斷并說理由）。

練習鞏固了學生掌握的2的倍數的特征，信息技術的及時反饋功能讓學生獲得成功的體驗。學生通過說理，訓練了口頭表達能力，發展了思維的嚴密性。借此機會我又深化了2的倍數與偶數的對應關系。

師：（出示小結語，如圖5，請學生齊讀，并提問為什么0也是偶數？）如果要你寫出一個偶數，你會怎么寫？如果要把一個偶數變成奇數呢？

提問后請學生代表回答。

圖5

● “數字”與“思維”的雙騰飛

練習是學習效果的試金石，本課的概念教學完畢，但學生是否真正理解、能否靈活運用、有沒有綜合運用的能力，需要通過練習進行及時的反饋。所以在設計練習時，我進行了分層次的處理：基礎性練習用于檢驗知識的理解程度，綜合性練習則用于檢驗靈活運用知識的能力，拓展性練習主要訓練學生綜合運用知識解決問題的技能。

但這樣一來，練習的量必然大增，幸好有信息技術作支撐，使運用普通教學工具很難實現的設計得以實施。另外，練習應考慮學生的具體情況，要讓不同層次的學生都能得到對應的訓練與提高，分層練習、因材施教是非常必要的。

1.基礎練習，鞏固新知

基礎練習的這幾道題都有多個要求（如圖6），可培養學生良好的審題習慣，學會有順序地思考問題，逐步解決問題；深化了學生對5和2倍數特征的本質理解，起到知識體系承上啟下的作用；從第2題開始由學生獨立進行操作練習，有疑問可以合作交流，最后進行匯報，匯報說理時要求口頭表達清晰、嚴謹、有條理；利用信息技術的及時反饋功能，讓學生獲得成功的喜悅，還提高了教學效率。

圖6

2.綜合練習，理清思路

概念多了就容易混淆，本課雖然只有幾個概念，但一旦與以前的一些概念（如整數、整十整百數、自然數、相鄰的數等）組合到一起時，學生是否仍然能夠保持清晰？因此，我設計了如下幾道判斷題：

（1）一個數不是2的倍數就是5的倍數。（）

（2）5的倍數既可能是奇數也可能是偶數。（）

（3）所有整十、整百的數一定既是2的倍數又是5的倍數。（）

（4）一個自然數不是奇數就是偶數。（）

（5）與奇數相鄰的兩個自然數都是偶數。（）

我要求學生獨立完成判斷，有困難的先進行小組內交流互助，逐題匯報訂正。判斷練習，進一步理清學生對概念的認識，提高他們綜合運用知識的能力。

3.拓展練習，完成跨越

通過壓縮式跨越，教材提供的基礎知識的教學已經快速完成，但要讓學生提前進入新知識領域，實現大跨步式的發展，仍需要讓學生開拓視野，豐富相關的知識面。于是，我特別設計了拓展性練習，直接在原有基礎上讓學生闡述4、8、25的倍數特征(如圖7)。數字的變化，伴隨著學生思維的跨越。

同時，為了避免學生思維的定性遷移，以為3的倍數特征也是與數的個位有關，我在設計中還特意安排了11的倍數特征，為以后學習3的倍數的特征作了鋪墊。在這一過程中，學生有條理并清晰地闡述自己的觀點，推理能力和初步的演繹推理能力得到了有效鍛煉。他們將課內知識與課外知識有機地結合起來，綜合運用相關的知識解決實際的數學問題，提升了綜合素養。

圖7

● 反思與總結

這一課讓我認識到信息技術與數學學科的深層次整合，能夠使抽象的知識形象化，訓練的內容多元化，知識的反饋及時化，學生的收獲層次化，不但所有學生學得輕松、學有所得，教師也教得自如、負擔大減，教學效益大幅提高，實現了“跨越式發展”。

學生以自主探究學習與小組協作學習相結合的學習方式進行學習，又是由淺入深、從易到難，其自信心得到了保障與提高。他們通過觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展了自身的推理能力，并能有條理且清晰地闡述自己的觀點，訓練、提高了口頭表達能力及邏輯思維能力。學生在探索活動中，感受到數學的奧妙，在運用規律中，體驗到數學的價值。