線性代數與解析幾何的第一堂課

關秀翠，周建華

摘要：線性代數與解析幾何是大學生知識結構的重要組成部分，由于其知識點繁多及具有抽象性和邏輯性強的特點，很多學生認為這是一門枯燥難學的課程。如何在第一堂課上讓學生認同這門課并產生濃厚的學習興趣呢？本文根據筆者多年來在教學實踐中的思考，介紹我們第一堂課六個方面的內容：本課程的重要性、與中學數學的聯系與區別、與“高等數學”的聯系與區別、課程的基本思想、主要內容及學好本課程的關鍵。

關鍵詞：線性代數；解析幾何；第一堂課；學習興趣；杜勒魔方

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0076-03

線性代數與解析幾何是大學生知識結構的重要組成部分，相關課程是高等院校各專業重要的通識教育課程之一。隨著計算機技術的飛速發展，線性代數理論在科學研究、工程技術和社會經濟等領域中的作用日益突出，因此對于本課程的學習成效很大程度上影響到學生的學習能力和實踐能力。由于課程具有知識點繁多以及抽象性和邏輯性強的特點，很多學生認為這是一門枯燥難學的課程，甚至對其龐大的研究對象——矩陣、向量空間等產生畏懼心理，更談不上喜歡這門課程。俗話說“好的開始是成功的一半”。每門課第一堂課的一個目的是要使學生對課程的概況有個初步的了解，而對于本課程來說，第一堂課尤其重要，這是因為線性代數與學生對數學已有的認識有很大不同。首先是研究對象不再是單一的數，而是矩陣和向量這樣的高維數組；其次是所涉及的概念不再是直觀具體的，而是基于直觀的抽象；再則課程理論的表述與學生所熟悉的方式有很大差別。這些差別可能會成為學生學習的困難，但是，如果能在第一堂課上處理好上述問題，反而可使學生更加認同這門課并對課程的學習產生濃厚的興趣。本文根據多年來在教學實踐中的思考，介紹我們第一堂課六個方面的內容：課程的重要性、與中學數學的聯系與區別、與“高等數學”的聯系與區別、課程的基本思想、主要內容以及學好本課程的關鍵。

一、課程的重要性

1.眾多學科的廣泛基礎。線性代數是討論數學中線性關系經典理論的課程。掌握線性代數的基本概念、基本理論和基本方法，可以為解決理工醫管科各專業的實際問題奠定必要的數學基礎。線性代數在經濟、管理、運籌學、社會學、人口學、遺傳學、生物學等領域都有廣泛的應用。高校中許多專業的后繼課程都以此為基礎。尤其重要的是，很多工程領域的科學問題在離散數值求解時實際上就是一個線性方程組的求解問題。

2.數學思維的訓練。本課程的教學目的不僅僅是講授課程的理論，更重要的是向學生傳授課程特有的思維方式，給予他們一種熏陶、訓練和磨煉，這些素質會使他們受益終生。

二、本課程與中學數學的聯系與區別

現行中學和大學數學教育有密切聯系，理念上又有很大差別，大學數學基礎課教師要在教學中發掘中學數學與大學數學學習方法的多種聯系與區別：大學數學基礎課在知識上是中學數學知識的延伸和拓展，思想方法上是中學數學的因襲和擴張，觀念上是中學數學的深化和發展。換言之，很多大學課堂里貌似困難的新問題都可以在中學數學中找到原型。這些準備工作可大大降低學生學習數學基礎課的畏難情緒，為實現學生由中學數學學習到大學數學學習的平穩過渡打下堅實的基礎。大學新生要完成兩個轉變。一是完成學習目的從“應試”向“應用”的轉變。當今大學主要培養應用型創新性人才已成為共識，這就要求學生能夠將學到的理論知識應用于實踐，提高自身觀察問題、分析問題和解決問題的實際能力，增強自己日后的就業資本和競爭能力。二是完成學習方式從“被動”向“主動”的轉變。在教學過程中，教師是施教的主體，學生是學習的主體。學習主體性是學生作為學習活動的主體所具有的獨立性、自覺能動性和創造性的內在特性，它是學生主體得以確立的內在依據和根本標志。為配合學生的這兩個轉變，在第一堂課上應該向學生講清楚本課程的考核方式。我們采用由期末成績、期中成績、平時成績、數學實驗、學術小論文等按一定比例構成的綜合考核方式。這樣的考核更強調學生在學習中的主體地位，教師應該充分調動學生的積極性，指導學生合理分配時間。教師要起好引導作用，為學生創造好自學和討論的環境，并選取既能激發學生興趣又能開拓學生思維的題目作為思考題和學術小論文的選題。

三、本課程和“高等數學”的聯系與區別

一般來說，大一學生同期學習的數學課程是“代數與幾何”與“高等數學”，這兩門課既有聯系又有區別。總體而言，代數是數量關系的科學，有序思維占主導，培養計算與邏輯思維能力；幾何是空間形式的科學，視覺思維占主導，培養直覺能力和洞察力；分析是數形關系的科學，量變關系占主導，函數為對象、極限為工具，培養周密的邏輯思維能力和建模能力。這兩者的區別體現在多個方面。“高等數學”主要研究實數及關于實數的函數，側重于處理單變量的問題，“線性代數”則主要研究向量和矩陣，側重于處理高維對象的問題。“高等數學”所涉及的數量是連續型的，“線性代數”所涉及的數量是離散型的，計算機技術的發展使得處理離散型關系數學理論的重要性日益突出。“高等數學”中諸如導數、積分等重要概念直接來自幾何，其許多理論也可以直接用來刻畫幾何現象，而線性代數中諸如n維向量及其線性相關性等重要概念只是借助幾何為之提供直觀，其中大部分都是借助這一直觀經過提煉抽象出來的，這就使得線性代數的理論更具抽象性。“高等數學”重數學原理的分析，“代數與幾何”則更側重于建立分析問題的框架。

四、“線性代數與解析幾何”的基本思想

1.解析幾何的基本思想——從笛卡爾的解析幾何與古典幾何作圖的三大難題談起。法國的數學家、哲學家笛卡爾（Descartes）引進了直角坐標系，創立了用代數方法研究幾何問題的解析幾何學。直角坐標系的偉大功績是實現了兩個幾何與代數之間的一一對應：平面上的每一個點P與一對有序實數（x，y）之間的一一對應；動點的軌跡產生一條曲線與一個含有兩個變量的方程之間的一一對應。從此，解析幾何揭開了變量數學也即近代數學的新篇章。解析幾何的一個成功的例子是解決了古典幾何作圖的三大難題。幾千年以來，許多卓越的數學家都未能解決這三大難題，既不能找到它的解答，又不能證明它的不可行性。然而，解析幾何僅通過提出并從代數的角度回答了三個問題就輕而易舉地解決了這些難題，將幾何作圖的本質歸結為求一系列二元一次或二元二次圓方程的根；將幾何作圖有解的充要條件歸結為這些方程組的根一定可以由原方程的系數經過加、減、乘、除及開平方這5種運算表示。經檢驗三大難題都不滿足這個充要條件，從而解析幾何用這精彩的三問將困擾數學家幾千年的三大難題化解在無形之中，展現了解析幾何在解決該問題時的科學發現的過程，呈現了新的思維方式，即將一類問題作為一個整體加以考察，而不是對每個問題單獨進行研究。通過大一新生熟悉的平面解析幾何知識來揭示解析幾何的基本思想，將使學生認識到用代數方法研究幾何問題的重要作用，從而激起學生學習空間解析幾何的欲望。

2.線性代數的基本思想——從兩個游戲談起。①從動物連連看談等價分類。學生喜愛的一些游戲的設計思想與線性代數的思想本質上是吻合的。例如，動物連連看游戲蘊含著等價分類的思想。雖然現在大多連連看游戲都只是將完全一樣的動物頭像連起來消掉，但只要將游戲規則改為將同一種類動物連起來消掉就是等價分類。從理論上看，線性代數的一個重要的任務就是將矩陣不同的等價關系進行分類，這些等價關系主要是指矩陣間的相抵關系、相似關系和相合關系。這些分類方法的共同特征就是找出相應的不變量和最簡形式。這就揭示了線性代數的一個重要思想——化繁為簡。②從數獨游戲談向量空間。數獨游戲是學生非常喜歡的數學智力游戲。數獨游戲又稱數字九宮格，即3格寬3格高的正方形，每一格又細分為一個九宮格。在每一個小九宮格中，分別填上數字1至9，讓整個大九宮格每一列、每一行的數字都不重復。不妨嘗試解析幾何帶來的新思維方式：將一類問題作為一個整體加以考察。下面以杜勒魔方為例來闡述其主要思想。杜勒魔方是指一個4×4數字方滿足每行、每列、每一對角線、每一個小方塊上的數字和相等且是一確定數。作為例子，不難構造如下兩個杜勒魔方：

我們不禁要問：杜勒魔方一共有多少個？如何構造所有的杜勒魔方呢？容易看到任意兩個杜勒魔方的和仍是一個杜勒魔方；任意一個杜勒魔方的任意數乘還是一個杜勒魔方。因此，如果杜勒魔方的元素允許取任意實數，且將每個杜勒魔方元素首尾相接構成一個16維列向量，那么所有杜勒魔方的集合就構成了一個向量空間。從而，上述兩個問題就不難回答了：杜勒魔方有無數多個，只要構造杜勒魔方空間的一組基就可得到所有的杜勒魔方。杜勒魔方的魅力還不僅僅局限于引出向量空間和基的概念，它還可以在以后的課堂教學中引領我們揭示線性代數一個又一個的抽象概念：基于化繁為簡的思想，構造由0，1構成的和為1的八個基本杜勒魔方，但它們線性相關，而去掉任何一個就是線性無關的，從而找到了7維杜勒魔方空間的一組基；當增強或者放松杜勒魔方中“和相等”的限制條件時，就可得到向量空間的子空間和擴張。用學生喜愛的游戲來揭示線性代數的基本思想——等價分類和化繁為簡，使學生感受到數學的神奇，從而激發學生學習線性代數的興趣。我們在課堂教學中的這一嘗試收到了很好的效果。

3.線性代數與解析幾何的聯系——從勾股定理說起。解析幾何為線性代數提供幾何直觀，許多線性代數的概念和方法都有其幾何原形。比如說，勾股定理是一個眾所周知的幾何特征，其實在n維空間中，結論仍然成立，即當n維向量α，β垂直時，有||α±β||2=||α||2+||β||2。在實踐中常用的最小二乘法就是建立在此基礎上的。線性代數也為解析幾何提供代數方法。比如說，平面上的二次曲線和空間中的二次曲面的分類在幾何上是比較困難的問題，但是，如果借助于代數上矩陣的特征值和二次型的慣性定理，該問題就可以輕松圓滿地獲得解決。

五、本課程的主要內容

“線性代數與解析幾何”的主要內容顧名思義分為線性代數和解析幾何兩部分，但是不同教材講授的內容不盡相同，講授順序也各有差別，這里僅以教材為例介紹內容。線性代數的核心工具是初等變換，主要任務是求解線性方程組，為此要研究各個方程之間的關系；每一個方程對應一個向量，因此要研究向量組的線性相關性、極大無關組和秩以及向量空間的基和維數；一個向量組構成一個矩陣，又要研究矩陣的各種運算，矩陣中行列數相等的方陣還有一個特殊的行列式運算，因此最先研究的應該是行列式的各種性質和計算。知識點環環相扣，而學習的過程要按照上述從后向前的順序進行。線性方程組的一個主要應用就是計算方陣的特征值和特征向量，從而研究方陣的相似對角化問題。空間解析幾何包括用代數方法研究三維空間的直線、平面和二次曲面。基于向量的數量積、向量積和混合積，可以得到直線、平面的各種方程，并能研究直線、平面間的夾角、距離等位置關系；基于實對稱矩陣的合同關系的等價分類，通過可逆線性變換特別是正交變換將一般二次曲面轉化為標準形，從而判別二次曲面的類型。課程的重點和難點是向量組的線性相關性、極大無關組；矩陣的秩；向量空間的基和維數；二次曲面的類型判別等。

六、學好本課程的關鍵

學好本課程的關鍵是要解決學什么及怎樣學的問題。學什么？課程知識是一個方面，更重要的是課程帶給我們的數學思維方式以及應用數學知識解決問題的意識和能力。在學習過程中應當力求弄清知識產生的背景和課程內容前后的聯系，增強知識的整體感、系統性和連貫性，以免淹沒在知識點的海洋之中。怎么學？第一掌握三基，即基本概念（定義、符號）、基本理論（定理、公式）、基本方法（計算、證明）；第二做好預習復習，課上體會思路，課下學會總結；第三多看多練多想，深入體會思想方法，提高邏輯思維能力；第四培養自主學習能力、獨立分析問題和解決問題的能力。要做好教學工作，需要我們在各個環節上認真細致的努力，作為其中一環，第一堂課的成功與否對整個課程教學有直接的影響。這幾年的教學實踐讓我們越來越感受到努力的成效。現在，常有學生告訴我們這樣的話，“原本以為這是一門比較枯燥的課程，但是在第一堂課上的杜勒魔方和連連看的例子徹底顛覆了我們原有的認識，原來看似單調的矩陣里也是一個數字的舞臺，在其中向我們展示著數學神奇的魔力，也因此對這門課程產生了濃厚的興趣”。

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基金項目：國家精品課程《線性代數與解析幾何》建設項目，東南大學優秀青年教師教學科研資助計劃（3207011202）

作者簡介：關秀翠（1974.7-），女，河北唐山，博士，副教授，主要從事運籌優化的研究工作；周建華（1962.7-），男，江蘇宜興，博士，教授，主要從事李代數的研究工作。