從學生的層面看數學概念的學習

劉金曉

【摘要】目前重解題輕概念、重結論輕過程的現象很普遍，這樣數學概念的學習就長期處在一個被忽略的地位，不少同學也就忽視了數學概念的學習，而事實上數學概念是數學學科的精髓和靈魂，是學生進行計算、解題的依據，也是培養學生數學思維的良好素材.因此，在新課程改革教學中抓緊抓好概念的學習是非常重要的.本文從學生的層面談談數學概念的學習.

【關鍵詞】概念；學習

一、建構主義的概念學習

建構主義的最早提出者是瑞士心理學家皮亞杰，他對于建構主義的基本觀念是：兒童在和四周的環境相互影響時，慢慢獲得有關大千世界的知識，這樣自己的知識結構得到了發展.其中相互作用涉及三個基本過程：同化、順應和平衡、個體將外部刺激所提供的信息整理到自己已有的認知結構的過程叫做同化.順應指個體原有的認知結構受到外部刺激而發生變化的過程.平衡指個體通過自我調節使認知發展從一個平衡點到另一個較高平衡點變化的過程.他認為，人類智慧的實質，就是同化和順應間的平衡過程，個體受到新的刺激時，就會用原有圖示去同化.若成功，就會出現短時間的平衡；若不成功，個體就會調動以前的圖式或新建一個圖式，直到最后認知上達到新平衡.兒童的認知結構就是在“平衡——不平衡——新的平衡”的循環中不斷地豐富、提高和發展的.建構主義教學論的本質：建立一類認知結構就是學習.建構主義對概念學習的積極方面：(1)數學概念是一個主動建構的過程，并不是客觀實在被主體簡單的、被動的反映；(2)在建構的過程中主體已有的認知結構發揮了特別重要的作用，并處于不斷的發展之中.

二、學生已有的經驗

學生已有的經驗來自學校學習和日常生活，它對新概念的學習有積極作用和消極作用.

1被極作用

因為數學知識之間本身是有連續性的，又根據皮亞杰的認知發展的理論，學生在學習數學概念時往往是從原有的認知結構來出發去理解和區分事物的各種聯系及性質，若成功，就獲得短暫的平衡；若不成功，學生就會建立新的認知結構或調節已有的認知結構，去順應新概念，最終獲得成功.因此學生要想牢固掌握所學新概念，就必須依靠原有認知結構中的有關知識和經驗.理解概念本質的前提是豐富的經驗，一名學生的認知結構越完善，表明他的生活經驗就越豐富，這樣獲得概念的效果更好.因此學生在數學學習中，一定要學好前面的知識，否則就會影響后續的學習，因為學習者如果不具備與新概念有關的知識就很難全面認識和理解新知識，此時新舊知識又出現了斷鏈，形成了不連通的網絡，如果再繼續下去，就會出現更大面積的破網，所以學習的基礎很重要.

2畢極作用

日常概念具有模糊性、廣泛性和多義性，很容易導致學生錯誤理解數學概念，因為有些概念的日常用語的含義和數學的實質不一致，例如數學中的“或”“和”等概念，這樣就會使得學生在掌握概念的過程中遇到困難，產生誤解形成錯誤概念，而當學生建構了錯誤概念，就算學習了科學的概念，但是這種先入為主的觀念依然存在于他們的潛意識里，美國著名的數學教育家戴維斯教授就曾說過這種錯誤觀念的頑固性.另外，學生生活在客觀世界中，在學校學習數學概念之前，就已經有一系列的概念和觀念，但當時受到思維水平的限制，這些概念是片面的或是錯誤的，盡管如此，波利亞曾說明了過去的經驗和知識才讓我們產生好念頭，因而這些前概念對學生概念的學習有很大的影響，有的概念已經在大腦里形成了一定的理論體系，即已經根深蒂固，這樣它就會抵觸與之相關的科學概念，就算接受了，也是一個錯誤概念和科學概念的混合體.例如，學生熟悉冪的運算律(ab)n=anbn，而出現了錯誤m2·n2=(m·n)2.又如，logaM+logaN=loga(M+N)，logaM·logaN=logaMN等.

三、學生思維定式

近年來，很多老師抱怨不少學生做概念的相關題目時“一望就會、一動就錯”“眼高手低”等，這是因為學生在解題中出現了思維定式，即用原來的思維方式去學習新的概念，或者用原來的方法去理解新概念，這樣就出現了一些慣性錯誤，這是因為已形成概念思維定式了.當概念的學習從一個層次轉入另一個層次、從一個階段轉入另一個階段時，通過表象網絡等的作用，對應的思維表象、思維模式、知識網絡便自覺地進行了加工，做了不恰當的推廣，而很多同學則按照過去的思維，自認為是做了合理的推廣，其實新的層次與原來的層次之間的差異被忽略了，因此學習的概念往往是錯誤的.通常概念的表象、定義及運用在各個階段的轉換過程中也會不自覺地進入思維定式而導致錯誤.同時隨著認知層次的發展數學概念是不斷改變的，這時就要求學生打破已形成的數學概念模式，去建立新概念，但是學生的思維還是陳舊的，當在新的領域里討論問題時，思維還是不自覺地進入了限制的領域，而且同階段的差異性之間也存在著矛盾，導致了學生學習概念的困難.例如函數概念的學習，在初中是描述的，是作為常量數學的函數，然而到了高中就可以用映射或者別的觀點來描述，其核心是“對應關系”，因此，若初中過于強調這種描述性的定義，必然給高中函數的學習帶來困難，因為學生的思維已經定式.

1毖生概括的能力

心理學研究表明，學生形成和掌握概念的直接前提是抽象和概括.事實上，數學概念的抽象性具有層次性的特點，因此在學習數學概念的過程中，只有按照數學概念的結構層次，讓概念的學習成為一個螺旋上升的過程，讓抽象程度低的概念成為高層次概括活動的具體素材，伴隨著不斷提高的概括活動層次，學生掌握的概念的抽象程度也被提高了，并逐漸形成了良好的結構功能的概念體系.這樣學生才會準確地掌握概念的本質屬性，然而很多學生有較低的抽象概括能力，他們不能掌握事物的本質屬性，因而影響了數學概念的理解和掌握.因為只有概括了的概念才方便記憶，也有利于遷移，李秉德先生曾經強調在數學教學中與其說為教遷移而不如說為教概括.如果概括能力差，信息就很快被遺忘或儲存很亂，這樣就影響了概念的同化和順應，因此，數學教師要注意不斷提高學生的概括水平，比如可以實施啟發式教學，在教學中創設問題的情境，并且精心設計數學概念的形成過程，讓學生親自體會由具體到抽象概括事物本質屬性的過程.例如函數的定義，課本是比較局限的定義F(x)是函數，而F(F(x))就不明白了，逐漸地深入，這樣有利于提高學生對數學抽象的概括能力，這樣就有利于學生學習數學概念.

2毖生語言表達的能力

波利亞認為轉化是最獨特的一種智力活動.因此在數學概念的教學中必須重視確立和運用數學語言.教學實踐表明，若一名學生能夠把所學的數學概念的有關屬性及它們之間的關系用自己的語言來表述，那么他就容易地把它們應用在新的情境，那樣就能更好地學習數學概念.然而在實際的教學中，學生自我語言的形成被很多教師和學生都忽略了，他們往往認為數學概念追求的目標是形式化的語言，這樣導致的結果是一方面學生學習的概念是通過不完善的自我語言來建構的，另一方面學生又要記老師教的形式化的語言，同時又隔離兩者，片面理解了概念，這樣就增加了解決問題的障礙與記憶的負擔.著名科學家A.Einsetni曾指出一個人的智力及學習的方法很大程度上是取決于語言，這一精辟論述深刻地揭示了數學語言表達能力與概念學習的密切關系.因此，對概念的語言進行分解，能使學生掌握概念應用的操作程序，這樣就能更深刻地理解和熟練地運用概念.

四、學生不好的學習方法和習慣

方法是成功的必要因素，科學的學習方法和良好的學習習慣可以在一定程度上彌補學生智力上的不足，而不少學生有不好的學習方法和習慣，少部分學生會去做筆記和整理錯題，相當一部分學生的學習習慣不好，不會歸納總結方法，以及忽略不懂的概念.

1毖習方法

每名同學有不同的學習方法，學習方法不好的同學開始學習成績差，若不及時總結經驗，改變學習方法，成績只會越來越差.當與別人的差距到一定程度時，就很難趕上去，這時就會對學習失去興趣，造成惡性循環，慢慢就對自己完全失去了信心.所以學生會不會學，有沒有好的學習方法，會直接影響到數學概念的學習.很多學生上課不認真做筆記，而人的記憶只能停留幾天，這樣就會導致遺忘，學了等于白學.還有的學生不重視訂正錯誤，對做錯的題也不善于從中分析原因，而一個人的大腦里錯誤的觀念是非常頑固的，這樣的后果是之前做錯，以后還會做錯.當然，還有其他的不好的學習方法，例如，盲目地解題，不注重理解知識、領會方法，只會死記硬背概念的定義、公式.我認為在數學的學習包括數學概念的學習中，準備筆記本和錯題本是很重要的，因為筆記本可以防止學生的遺忘，并且讓學生把握重點知識，錯題本可以起到幫學生避免負遷移，訂正頭腦里的錯誤的觀念的作用.因此，做筆記和訂正錯誤是個很重要的學習方法.而學生的學習方法是需要靠教師和父母來指導的，但是主要是老師，所以老師要加強學法指導.讓學生珍惜和重視自己的學習過程，多嘗試和訓練領悟到的學習方法，讓它們內化成自己的能力，提高自己學會學習的本領.而概念方面的錯誤常常是學生數學成績差的主要根源之一.因為概念是學習數學知識的奠基石，基礎打好了才能越爬越高.概念的學習也需要方法，有好的學習方法就能不斷地學習到新知識，逐步使自己有更加好的成績.

2毖習習慣

我國著名教育家葉圣陶先生說過好的學習方法可以轉化成好的學習習慣，所以我們要養成做筆記和改錯題的好習慣.當然還有其他的很多的好的學習習慣，很多學生不善于總結知識，學習了很多知識，解完了很多題目，都不去總結、歸類和推廣，以后碰到類似的題目，還是不會做;還有的學生不重視學習，沒有主動性和積極性，習慣放松，沒有探索的精神.比如一些數學成績差的同學，不能理解一些概念，與概念相關的題目也不會做，就自動放棄和忽略了，自己根本不愿意去花時間思考，也不去弄清楚搞明白.試想：若不經歷一個思考的過程，不經過很多思維的碰撞與組合，怎么可能學好概念？很多學生在初中就養成了直接套用公式的學習模式，而進入高中就不同了，同樣的問題，不同的思維角度，將直接影響解題的繁簡程度.例如求二次函數的最值，看似它是一個純代數的問題，但是用代數觀點解非常麻煩，若對解析幾何中的斜率和兩點間的距離公式很熟悉就可以使問題變得非常簡單.所以平時養成歸類、總結和推廣的好習慣，能輕松解題.另外，認真思考的學習習慣可以加深對概念的理解和記憶，從感性認識升華到理性認識，還可以防止死讀書和讀死書，在學習時都能批判地吸收以及激發靈感，解開困惑.而在實際的教學中，我們會注意到，很多同學急于求成和急功近利，學習概念時，沒弄清概念的內涵和外延就被假象所蒙蔽，抽象、概括、判斷和準確的邏輯推理未能采用多層次的分析，同時數學概念應用于問題解題后的整體思考、回顧和反思，包括都用到哪些概念、數學概念的應用是否正確、對問題的解決有什么獨特之處、是否可找出另外的方案、能否推廣和遷移等，都被忽視了，從而導致他們的興趣和注意指向偏差，忽視了數學過程而偏重數學的結論，而且學生之間的交流就是比較分數，這樣就很少有同學去深層次地討論數學概念建構過程和對解題方法的影響.這樣學生就不能完全理解概念，不能從本質上認識數學問題，正確的概念就沒辦法形成，深刻的結論也難以領會.

數學是玩概念的！數學思維的特點是用概念思維，是抽象思維；數學解題離不開概念，解題又有利于對數學概念的理解，相輔相成.讓我們把數學概念的學習放在數學教學的首要位置.

【參考文獻】

［1］章建躍.中學數學教學概論.北京：北京師范大學出版社，2006.

［2］張躍紅.讓數學概念從空乏走向生動［J］.中小學數學，2008（1）.

［3］陶維林.數學概念教學的實踐與思考［J］.中小學數學，2011（3）.