例析高考中不等式恒成立問題

張鐵麗

在近幾年的數學高考中，各省市的試題中有一類常見問題，即不等式恒成立問題.此類問題，側重于考查不等式與函數、數列等的綜合應用，不僅知識覆蓋面廣，而且對基本數學思想（如化歸思想、函數思想、方程思想、數形結合思想等）的應用提出了更高的要求.學生對此類問題往往感覺難以下手.通過對這類問題的研究，筆者認為它是有章可循的，下面從兩個方面來說明這類問題的特點和常見思路.

一、已知參數或變量范圍，證明不等式恒成立

例1（2008年山東理21）已知函數f(x)=1(1-x)n+aln(x-1)，其中n∈N*，a為常數.

（1）當n=2時，求函數f(x)的極值；

（2）當a=1時，證明：對任意的正整數n，當x≥2時，有f(x)≤x-1.

分析（1）略.對于（2）可對n分奇偶，分別運用導數進行證明.

證明當n為奇數時，1(1-x)n<0，

∴只需證ln(x-1)≤x-1.

設g(x)=ln(x-1)-x+1，則g′(x)=1x-1-1=2-xx-1≤0，

∴g(x)在［2，+∞)上是減函數，∴g(x)≤g(2)=-1<0.

當n為偶數時，設h(x)=1(1-x)n+ln(x-1)-x+1，

則h′(x)=-n(x-1)n+1+2-xx-1<0，

∴h(x)在［2，+∞)上也是減函數，

∴h(x)≤h(2)=0.綜上可知，原不等式恒成立.

二、已知不等式恒成立，求參數范圍

這類問題在高考中有三種不同的表示方式，下面分三個小點說明.

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顧名思義，此類問題即直接以求不等式恒成立中參數范圍的題面出現.在2008年的各省市高考卷中，考查不等式恒成立中參數范圍問題的題目多數是這種類型.

例2（2008年江蘇理14）設函數f(x)=ax3-3x+1，若對于任意的x∈［-1，1］，都有f(x)≥0成立，則a的值為.

分析對于這個問題，常規的思路是對a分情況討論求出f(x)的最小值g(a)，再解g(a)≥0的不等式，從而得到a的值.

解∵f(1)=a-2≥0，∴a≥2.

總之，以上兩個方面在高考和各種模擬考中出現頻率比較高，比如2009年浙江省高考調測卷（理）第22題就是關于不等式恒成立問題的，筆者在平時教學中，發現學生對此類問題掌握不夠，在此拋磚引玉，希望能引起注意.