通過類比相似知識點(diǎn),用置換方法解決問題

沈國平

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，很多同學(xué)對于計(jì)算線段條數(shù)、握手次數(shù)等問題頗感困難，由于數(shù)字過多，所以在計(jì)算過程中或者重復(fù)或者遺漏，本文試通過類比進(jìn)行置換的方法，解決這一類問題.

首先，從課本中的練習(xí)題談起.

例1如圖，在平面內(nèi)有A1，A2，A3，A4，…，An-1，An共n個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不在同一條直線上），經(jīng)過這n個(gè)點(diǎn)畫直線能畫幾條？

分析固定點(diǎn)A1，它與其他的點(diǎn)組成的直線可以表示為：

直線A1A2，A1A3，A1A4，…，A1An-1，A1An共有直線（n-1）條.

固定點(diǎn)A2，它與其他的點(diǎn)組成的直線可以表示為：

直線A2A1，A2A3，A2A4，…，A2An-1，A2An共有直線（n-1）條.

依次類推，固定點(diǎn)An，它與其他的點(diǎn)組成的直線可以表示為：

直線AnA1，AnA2，AnA3，AnA4，…，AnAn-1，共有直線（n-1）條.

由上可知，“每個(gè)點(diǎn)與其他（n-1）個(gè)點(diǎn)各組成一條直線”，同時(shí)還可知直線總數(shù)為n(n-1)條.但是A1A2與A2A1兩條直線是同一條，所以上面的直線總數(shù)除去一半才是實(shí)際直線總數(shù)，即12n(n-1)條.

下面再看課本中另一類似題目：

例2如圖，在∠AOB內(nèi)，以頂點(diǎn)O為端點(diǎn)的射線畫n條，一共可以組成多少個(gè)角？

此題可以通過類比，本題中從端點(diǎn)O發(fā)出的射線共有(n+2)條，每條射線類似于例1中的點(diǎn)，所以可以用點(diǎn)來置換此題中的射線，由例1結(jié)論類似可得圖形中共有角12(n+2)(n+1)個(gè).

例3一個(gè)凸多邊形共有20條對角線，它是幾邊形？

分析這里設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，則頂點(diǎn)分別記為A1，A2，A3，A4，…，An-1，An.

固定點(diǎn)A1與它頂點(diǎn)連接的對角線有（n-3）條，每一條對角線也可以置換成一個(gè)點(diǎn)，所以類似例1的結(jié)論可得對角線共有12n(n-3)條.

其實(shí)，類似計(jì)算比賽場數(shù)、確定線段條數(shù)、聚會(huì)時(shí)握手總次數(shù)等問題，也可以通過類比置換方法加以解決.

事實(shí)上，不光在解題時(shí)可以通過類比置換來解決問題，在很多數(shù)學(xué)概念教學(xué)中也可以如此進(jìn)行.

例如，在學(xué)習(xí)“線段的中點(diǎn)”和“角平分線”這兩個(gè)知識點(diǎn)上就有相似之處，對比如下：

知識點(diǎn)定義計(jì)算方面的應(yīng)用

線段的中點(diǎn)把一條線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)兩條小線段長度相等，分割前的線段是分割后兩條小線段長度的兩倍（或分割后的小線段長度是分割前線段長度的一半）

角的平分線把一個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線兩個(gè)小角的度數(shù)相等，分割前的角是分割后兩個(gè)小角度數(shù)的兩倍（或分割后的小角度數(shù)是分割前大角度數(shù)的一半）

例4如圖（1），①若∠AOC=∠BOD=x，2∠COB=∠DOA，則∠COB=(用含x的代數(shù)式表示)；

②若∠AOC=∠BOD=x，∠AOD=y，分別作∠AOB與∠COD的角平分線OE和OF，則∠EOF=度（用含x和y的代數(shù)式表示）.

如圖（2），①若AC=BD=x，2CB=DA，則CB=(用含x的代數(shù)式表示)；

②若AC=BD=x，AD=y，分別作AB與CD的中點(diǎn)E和F，則EF=（用含x和y的代數(shù)式表示）.

此例中，射線OA，OB，OC，OD類似于點(diǎn)A，B，C，D，∠AOB，∠BOC，∠COD類似AB，BC，CD；可以互相置換，因此圖形（1）和圖形（2）的填空解答是一樣的.

通過上面的分析我們不難看出，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，要充分利用數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的類似之處，通過相互置換的方法來幫助我們解決數(shù)學(xué)問題，可以達(dá)到舉一反三、事半功倍的效果.