向量代表三角形的“心”

周珂

向量是代數與幾何的主要橋梁，這種聯系不僅體現在平面直角坐標系中點的坐標與向量的坐標之間的對應關系，還體現在向量表達式和向量的幾何意義與平面幾何中三角形的“心”之間的密切聯系.

一、重心

例1已知O是△ABC的重心，求證：OA+OB+OC=0.

解如圖，由已知，O是△ABC的重心，連接AO，BO，CO，使它們的延長線與BC，CA，AB分別交于點D，E，F.

二、內心

例4O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈［0,+∞)，則P點的軌跡一定通過△ABC的（）.

A蓖廡

B蹦諦

C敝匭

D貝剮

解如圖(1)，作向量AP，則

由向量加法得OP=OA+AP.①

由已知可知，OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|.②

由①②可知AP=λAB|AB|+AC|AC|.③

如圖(2)，③式中，AB|AB|，AC|AC|都是單位向量，以這兩個向量為一組鄰邊作鰽B1P1C1，這時鰽B1P1C1是菱形，對角線AP1平分∠B1AC1，且

AB1=AB|AB|，④

AC1=AC|AC|.⑤

由③④⑤可知AP=λAP1.

再由λ∈［0,+∞)可知，P點的軌跡是射線AP，

∴P點的軌跡一定通過△ABC的內心.選B.

例5（1）設△ABC是任意三角形，AD，BE，CF分別為其內角∠A,∠B,∠C的平分線，求證：AD，BE，CF交于一點G.

（2）設△ABC的三個項點A，B，C的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，A，B，C的對邊的長分別為a，b，c，根據第(1)小題的結果，寫出△ABC的內心G的坐標(x，y).

解（1）由于本題難度很大，所以，我們采用一題三圖的方式給出解答，以免字母混亂的現象發(fā)生，三個圖如圖所示.在題目的證明之前，我們先說明一個問題：

OP=11+λOP1+λ1+λOP2中，11+λ+λ1+λ=1.

∴OP總可以寫成以下的形式：OP=xOP1+(1-x)OP2，OP=yOP1+(1-y)OP2，等等.