對一道奧林匹克問題的四種簡證及推廣

王淼生

【摘要】通過對一道奧林匹克問題的四種簡證及推廣，闡述教材的重要性，尤其關(guān)注教材上的結(jié)論、范例、習(xí)題及其變式的應(yīng)用與作用.

【關(guān)鍵詞】簡證；推廣；教材

參考文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)奧林匹克問題之163（高中），由宋慶先生提供并解答，看后深受啟發(fā)，但其解答過程較復(fù)雜，筆者經(jīng)研究，利用教材上基本的結(jié)論及變式得出四種簡捷證法，供大家參考.

【摘要】通過對一道奧林匹克問題的四種簡證及推廣，闡述教材的重要性，尤其關(guān)注教材上的結(jié)論、范例、習(xí)題及其變式的應(yīng)用與作用.

【關(guān)鍵詞】簡證；推廣；教材

參考文獻(xiàn)中的數(shù)學(xué)奧林匹克問題之163（高中），由宋慶先生提供并解答，看后深受啟發(fā)，但其解答過程較復(fù)雜，筆者經(jīng)研究，利用教材上基本的結(jié)論及變式得出四種簡捷證法，供大家參考.

原題已知α為銳角，求證：1sinα+33cosα≥8.

證法1利用教材均值不等式，得到

1sinα+33cosα=1sinα+3cosα+3cosα+3cosα≥44(3)3sinαcos3α.

又(sinαcos3α)2

=13［(3sin2α)cos2αcos2αcos2α］

≤133sin2α+cos2α+cos2α+cos2α44

=13344，

于是得到1sinα+33cosα≥44(3)333342=4×2=8.

證法2利用教材算術(shù)平均數(shù)不小于調(diào)和平均數(shù)，得到

1sinα+33cosα=1sinα+3cosα+3cosα+3cosα

≥16sinα+3cosα

=8sinα+π3≥8.

證法3利用教材柯西不等式的變式：

a2c+b2d≥(a+b)2c+d，得到

1sinα+33cosα

=12sinα+323cosα

≥(1+3)2sinα+3cosα

=8sinα+π3≥8.

證法4只要證明122sinα+3223cosα≥4.

利用教材最基本的不等式a2+b2≥2ab（b∈R+）變式：

a2b≥2a-b，可得

122sinα+3223cosα

≥(2-2sinα)+(6-23cosα)

=8-4sinα+π3≥4.

以上等號成立當(dāng)且僅當(dāng)α=π6.

利用上述證法容易得到下列推廣：

推廣1若α為銳角，n∈N+，則

1sinα+nncosα≥(n+1)32，

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)α=arctannn.

由題目的特征：sin2α+cos2α=1，還可以得到：

推廣2若a，b∈R+，且a2+b2=1，則

1a+nnb≥(n+1)32，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)ab=nn.

評注筆者一直在高三一線從事常規(guī)教學(xué)，同時作為一名奧賽教練，感觸挺深！事實(shí)上，像這樣利用教材上的范例、習(xí)題、結(jié)論及變式來解決國內(nèi)外競賽試題的例子確實(shí)挺多，如第36屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克試題：設(shè)a，b，c∈R+，且滿足abc=1.證明：1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.

利用上述最基本的不等式a2+b2≥2ab（b∈R+）變式：a2b≥2a-b，可以得到極其簡捷的證法.再如第31屆IMO預(yù)選試題、第5、11屆IMO試題等.由此看出高中數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)與奧賽緊密相連，相輔相成，特別是隨著新課改的深入，新教材的普遍使用，要求教師深入鉆研教材，領(lǐng)會新一輪課改精神，充分利用、用好、用足教材上的結(jié)論、范例、習(xí)題及其變式，對于這一點(diǎn)，尤其應(yīng)該引起高中教師、教練員和參賽選手的重視.

【參考文獻(xiàn)】

數(shù)學(xué)奧林匹克問題［J］.中等數(shù)學(xué)，2005（10、11）.