對一道高考試題的深入思考

夏明亮

在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要善于從簡單現(xiàn)象的背后，揭示出深刻的數(shù)學(xué)理論，從平凡事實的背后，挖掘出不平凡的東西.下面簡要談一下對一道高考題的思考，以期達(dá)到拋磚引玉的作用，不當(dāng)之處，敬請批評指正.

問題1同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中抽取一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方法有多少種？

思路1若4張賀卡任意分給4個人有A44種，而其中只有1人拿自己賀卡有C14×2種分法，有2人拿自己賀卡有C24種分法，有3人拿自己賀卡時則第4人一定拿自己賀卡，則只有1種分法.

因此滿足條件的分法種數(shù)為：A44-2C14-C24-1=9.

思路2對4人分別編1，2，3，4四個號，對四張賀卡也編上1，2，3，4四個號，那么1，2，3，4填入四個方格的一個填法對應(yīng)賀卡的一種抽取法，原題轉(zhuǎn)化成上面所述方格的編號與所填數(shù)字不同的填法種數(shù)問題.

據(jù)題意，數(shù)字1不填1號格，它只能填2，3，4號格，如圖，1

故第一類中有三種填法.

1在第2格與在第3格、第4格性質(zhì)完全相同，同理可得到第二類、第三類各有三種填法.

所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理，可得滿足條件的填法為3+3+3=9.

問題2若把上面題目改為：同室n（n∈N+）人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中抽取一張別人送出的賀卡，則n張賀卡不同的分配方法有多少種？

分析用Sn表示同室n（n∈N+）人時的抽取方法數(shù).易得：

①當(dāng)n=1時，有0種抽取方法，即S1=0.

②當(dāng)n=2時，有1種抽取方法，即S2=1.

③當(dāng)n=3時，有2種抽取方法，即S3=2.

④當(dāng)n=4時，有9種抽取方法，即S4=9.

……

那么，當(dāng)有n（n≥3）個人時的抽法種數(shù)為

Sn=(n-1)(Sn-1+Sn-2).

思路分析對室內(nèi)的n個人分別編號為a1，a2，a3，…，an，他們所寫的賀卡編號為A1，A2，A3，…，An，則室內(nèi)的前n-1個人與第n個人an抽取賀卡時僅有兩種情況：

第一種情況是第n個人an與前n-1個人a1，a2，a3，…，an-1中的一個互換了賀卡，不妨假設(shè)第n個人與第n-1個人互換了賀卡，即an與an-1互換了賀卡，則前n-2個人a1，a2，a3，…，an-2之間相互抽取賀卡，和an與an-1的抽法無關(guān)，其抽取方法種數(shù)為Sn-2.而第n個人an與前n-1個人中任一人可以互換賀卡，有C1n-1種抽取方法.

由分步乘法計數(shù)原理可知有C1n-1·Sn-2種抽法.

第二種情況是第n個人an與前n-1個人a1，a2，a3，…，an-1中的任何人的賀卡不是互換的，即ai（1≤i≤n-1）抽取了an寫的賀卡An，而an抽取的是aj（1≤j≤n-1且i≠j）寫的賀卡Aj.我們可以先使前n-1個人a1，a2，a3，…，an-1相互抽取賀卡，每人不能抽取自己寫的賀卡，共有Sn-1種抽取方法；第n個人an用自己所寫的賀卡An與前n-1個人中任一人所抽取的賀卡互換，例如前n-1個人a1，a2，a3，…，an-1相互抽取賀卡時ai（1≤i≤n-1）抽的是aj（1≤j≤n-1且i≠j）寫的賀卡Aj，即ai抽取的是Aj；而an用自己所寫的賀卡An與ai（1≤i≤n-1）抽的aj（1≤j≤n-1且i≠j）寫的賀卡互換Aj，這樣最終就出現(xiàn)了：

ai抽取的是An，

an抽取的是Aj，

共有C1n-1種抽取方法.

對于第二種情況，由分步乘法計數(shù)原理可知有C1n-1·Sn-1種抽法.

綜合上述兩種情況可得總的抽法種數(shù)為

Sn=C1n-1·Sn-2+C1n-1·Sn-1=C1n-1·(Sn-2+Sn-1)(n≥3).

所以Sn=0n=1，

1n=2，

C1n-1(Sn-2+Sn-1)n≥3.

【參考文獻】

［1］趙小云.數(shù)學(xué)家的策略.北京：中國少年兒童出版社，1997.

［2］高體柱，張廷永.高考能力型試題研練（數(shù)學(xué)）.北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，2001.

［3］李名德，李勝宏.高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程（一練）.杭州：浙江大學(xué)出版社，2008.