Black-Scholes公式及其在歐式期權定價中的應用

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【摘要】70年代初，Fisher Black和Myron Scholes取得了一個重大突破，推導出基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價格f必須滿足的方程：筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.他們運用該方程推導出股票的歐式看漲期權和看跌期權的價值.本文我們利用風險中性估值工具來證明Black睸choles公式及其在歐式期權定價中的應用.

【關鍵詞】Black睸choles公式；風險中性；期權定價

一、Black睸choles微分方程的性質

筬箃+rS筬筍+12σ2S22f筍2=rf.

1蓖頻

dS=μSdt+σSdBt，

df=筬筍μS+筬箃+12·2f筍2σ2S2dt+筬筍σSdBt.

因為股票價格和衍生證券價格都受同一種不確定性的影響，即股價變動，所以可以建立無風險證券組合.在無套利機會條件下，該證券組合的收益必定為無風險利率r.（因為如果建立了一種恰當的股票和衍生證券的投資組合，股票頭寸的盈利（損失）總是會與衍生證券的損失（盈利）相抵消，因而在短時期內，證券組合的總價值就確定了.）

2斃災

該方程不包含任何受投資者風險偏好影響的變量，只出現：股票價格S，時間t，股票價格方差σ，無風險利率r等變量，它們都獨立于風險偏好.

如果方程中不存在風險偏好，那么風險偏好將不會對其解產生影響，因此，在對f進行定價時，我們可以使用任何一種風險偏好.特別地，我們可以提出一個非常簡單的假設，即所有投資者都是風險中性的.在一個所有投資者都是風險中性的世界里，所有證券的預期收益率皆為無風險利率r，因而將其期望值用無風險利率貼現可獲得任何現金流的現值.

二、歐式看漲期權的Black睸choles公式推導

dSt=μStdt+σStdBt.

風險溢價過程θ=μ-rσ，它對應的風險中性概率為Q，其中，dQdP=exp(θBt)=exp-θBt-12θ2t.

Bt=Bt+θt在測度Q下是一個布朗運動，

三、結論

本文在風險中性的假設下對Black睸choles公式進行了簡單的證明，并給出了歐式看漲和看跌期權的定價公式.另外，利用風險中性估值工具，還可以對其他期權進行定價，如美式期權定價.

【參考文獻】

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