集論

鄧建國

組成集的對象稱為集的元素.我們用大寫字母表示集，用小寫字母表示集的元素.

命題“元素α屬于集A”記作：α∈A.如果元素α不屬于集A，則記作α麬.如果集A的所有元素都含在集B中，則記作A糂，在這種情況下A稱為B的子集（有可能A與B重合，亦即A與B由相同的元素組成：A＝B）.如果A≠B，子集A糂稱為真子集.不含有任何集的稱為空集，并用符號簾硎.

具有性質(zhì)N的元素的總體（集）記作：｛x:N｝.

1奔上的運算

由全部至少屬于集A和B之一的那些元素組成C稱為兩個集A和B的和：C＝A∪B.(更一般地，C=∪αAα，足標α屬于某個集).

由全部既屬于集A又屬于集B的那些元素組成的集C稱為集A與B的交：C＝A∩B(更一般地，C=∩αAα).

屬于集A但不屬于B的元素的總體C稱為集A與B的差：C＝A＼B.

集C＝(A∪B)＼(A∩B)＝A△B稱為集A和B的對稱差.

我們常常要研究不同的事，這些集全是某個基礎(chǔ)集S的子集.在這種情況下，如果A糂，那么差S＼A稱為集A的補A′:A′=S＼A，集S稱為單位.

集論中的對偶性原理乃是上面所引進的定義的直接而顯然的推論：

（1）和的補等于補的交；

（2）交的補等于補的和.

2庇成

設(shè)A和B是兩個集.假定集A的每個元素α對應(yīng)于含于集B的一個確定的元素b=g(a).在這種情況下我們確定了集A到集B中的一個映射（函數(shù)）g.

元素b稱為元素a在映射g下的象，而元素a稱為元素b的逆象或逆象之一.

如果集B的每個元素在映射g下至少有一個逆象，那么映射g是A到B上的映射，g:A→B.

設(shè)M糀，那么g(M)表示B中是元素α∈M的象的那些元素的集.

集g(M)稱為集M在映射g下的象.如果N糂，那么用g-1(N)表示A中那些元素的集，它們的映射g下的象在N中，集g-1(N)稱為集N在映射下的完全逆象.

映射g有時方便地稱作定義域為集A而值域在集B中的函數(shù).在某些數(shù)學(xué)分支中，根據(jù)集A和B的特性和g的性質(zhì)，映射g稱為算子、泛函、等等.

如果集B的每個元素在映射g下有一個而且只有一個逆象，集A到集B上的映射g被稱作一對一的（這樣的映射還稱作可逆單值的）.

顯然，如果g是集A到集B上的一對一的映射或是這兩個集的元素間的一對一的對應(yīng)，那么我們可以定義g的逆映射g-1，亦即由方程b=g(a)，若已知元素b，則可單值地確定a，同時a=g-1(b).

任何一個這樣的映射F(a1，a2，…)，若它對全部a1，a2，…∈A有F(g(a1)，g(a2)，…)=F(a1，a2，…)，以及任何一個這樣的關(guān)系P(a1，a2，…)=T，若它對全部a1，a2，…∈A有P(g(a1)，g(a2)，…)=T，則這個映射以及這個關(guān)系稱為關(guān)于映射b=g(a)是不變的.

3奔的直積

設(shè)Ω＝｛1，2，…，n｝，并且A1，A2，…，An是某個集A的子集，集Ak的直積∏nk=1Ak乃是所有的這種把Ω映射到A中的函數(shù)f的總體，它使得f(k)∈Ak(k=1，2，…，n)成立.顯然，∏nk=1Ak可以看成是所有可能的組(a1，a2，…，an)，ak∈Ak.

4鋇仁萍

集A與B稱作等勢的，如果它們的元素之間可以建立一對一的對應(yīng).

一個集是有限的，如果它與自然數(shù)組｛1，2，…，n＜∞｝等勢.

一個集稱為可數(shù)的，如果它與自然數(shù)列｛1，2，…，n，…｝等勢.

一個集稱作具有連續(xù)統(tǒng)的勢的集，如果它與線段［0，1］的點的集等勢.

集A的勢記作|A|.

度量空間.

開集和閉集.

在數(shù)學(xué)分析中極限的概念起著極重要的作用，對象間的這種或那種的距離概念是各種極限定義的基礎(chǔ).所以很自然地試圖將抽象性質(zhì)的元素——任意集的元素引進距離的定義，然后引進極限過程的概念.

定義1我們在集X上定義了一個度量空間結(jié)構(gòu)，如果給定了一對自變量的函數(shù)ρ:X×X→R1(R1是數(shù)軸)，它具有下列性質(zhì)：

（1)當且僅當x=y時，ρ(x，y)=0;

（2)ρ(x，y)=ρ(y，x)(對稱性)；

（3)ρ（x，y）≤ρ(x，z)+ρ(z，y)(三角形不等式).

函數(shù)ρ(x，y)，x，y∈X稱為度量或距離函數(shù)，數(shù)ρ（x，y）稱為點x和y的距離.

因此，集X和函數(shù)ρ兩者組成度量空間，我們把它記作R=(X，ρ).

如果在（3）中令x=y，考慮到（1）和（2），那么我們得0≤ρ（y，z），亦即距離函數(shù)是其自變量的非負函數(shù).

我們來舉幾個度量空間的例子.

例1n維算術(shù)空間X，它的點是矢量，即n個數(shù)的有序組，x=(x1，x2，…，xn)，顯然，如果令ρ(x，y)=∑ni=1|xi-yi|212，那么它們組成一個度量空間.我們把它記作Rn:Rn=(X，ρ).

例2設(shè)Y是定義在區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)的集.我們引進度量，令ρ(x，y)=maxa≤i≤b|x(t)-y(t)|.

我們得到一個度量空間，把它記作C［a，b］＝（Y，ρ），同樣，［a，b］上n(n≥1)次連續(xù)可微函數(shù)的集Z，如果按ρ(x，y)=max0≤i≤n max0≤i≤b|x(i)(t)-y(i)(t)|，(x(0)(t)=x(t)，y(0)(t)=y(t))，引進度量，也形成度量空間.這個空間通常記作Cn［a，b］=(Z，ρ)，n≥1.

所有適合ρ（x，a）＜r(ρ(x，a)≤r)的點x∈X的集稱作空間R中中心在點a、半徑是r的球Ｏ（a，r）（閉球K（a，r））.

定義2集∑糥稱作在R=(X，ρ)中的開集，如果它含有點x的同時也含有某個球O（x，r）.

定義3含有x的點的任何開集稱為點x∈X的鄰域.任何含有某個子集X的開集稱作該子集的鄰域（它也可能就是X本身）.點x的鄰域記為∑x.

定義4設(shè)Y糥，如果點x∈X的每個鄰域中至少含有一個點y且x≠y∈Y，那么點x稱為集Y的極限點.

點y∈Y稱為集Y的孤立點，如果存在y的一個鄰域，在其中沒有異于y的Y中的點.

定義5點y∈Y（Y是X的子集）稱為內(nèi)點，如果它有某個鄰域含在Y中，把集Y在X中的補的內(nèi)點稱為Y的外點.如果一個點既不是Y的內(nèi)點，也不是Y的外點，則它稱作Y的邊界點.Y的邊界點的集記作筜.

定義6度量空間的集稱為閉集，如果它的補是開集.

下列論斷正確：任意多個開集的和，任意有限個開集的交是開集，梁蚗是開集.

任意多個閉集的交是閉集，任意有限個閉集的和是閉集，梁蚗是閉集.閉集包含它的全部極限點.

定義7所有包含集Y的閉集的交稱為集Y的閉包，記作Y.

如果集C糄，那么C糄.

設(shè)R＝（X，ρ）是度量空間，Y是X的子集，度量ρ可以看作是僅僅定義在Y糥的點上.所以Y本身成為度量空間，并且R0＝（Y，ρ）稱為空間R的子空間.

定義8空間R=(X，ρ)稱為連通的，如果它不能表示成兩個非空、不相交的閉（或開）子集之和.

如果度量空間R中的集Y作為R的子空間：（Y，ρ）跡╔，ρ），是連通的，則稱Y是在R中連通的.

定義9度量空間中的點列an稱為收斂于這個空間的點a，如果點a的任何鄰域都含有該點列的除去有限多個點外的一切點.如果序列an收斂于a，則寫作an→a(當n→∞)或limn→∞an=a.

從這個直接推知，如果an→a，那么ρ（an，a）→0（當n→∞）.

下列論斷正確：點a∈R屬于某個集A的閉包A，當且僅當存在集A的點到{an}收斂于a.

所以，點a∈，當且僅當點a的每個鄰域∑a與A相交.

度量空間中的任何開集族，如果它們的和包含這空間中的集A，則稱為集A的一個覆蓋.

定義10度量空間R＝(X，ρ)稱為列緊的，如果它的任何覆蓋含有有限子覆蓋.

把區(qū)間［0，1］看作具有通常歐幾里得距離的度量空間，它就是列緊度量空間的一例.

定義11度量空間R＝（X，ρ）的元素的列{xn}稱為基本列，如果當n，m→∞時（m，n是自然數(shù)），ρ(xn，xm)→0.

定義12度量空間R＝（X，ρ）稱為完備的，如果在R中任何基本列都收斂于空間的某個點.

定理（球套原理）要使度量空間是完備的，必須在空間中一切半徑趨于零的、且互相一個包含一個的閉球序列有非空的交.

拓撲空間.

開集和閉集.

定義1我們在集X上定義了一個拓撲空間結(jié)構(gòu)，如果給定了X的子集系{∑}，它具有下列性質(zhì)：

（1）集X自身及空集潦粲趝∑}；

（2）系{∑}的任意多個集的和及任意有限多個集之交屬于{∑}.

滿足條件（1）（2）的系{∑}稱為集X上的拓撲.

因此，集X和拓撲{∑}兩者組成拓撲空間，把它記作T＝(X，∑).我們來舉幾個拓撲空間的例子.

例1我們研究任意的度量空間R＝（X，ρ），開集滿足拓撲空間的定義1中性質(zhì)（1）和（2），因此，所有的度量空間R＝（X，ρ）也是拓撲空間T＝(X，∑)，這里{∑}是R中的開集系.

例2設(shè)X＝R1是實數(shù)集，取所有可能的開區(qū)間的并及空集磷魑系{∑}，那么T＝(X，∑)是拓撲空間，R1∈{∑}.

定義2集∑a糥稱為T中的開集，如果∑a納∑}.

定義3任何含有x∈X的開集稱x的鄰域.任何含有X的某個子集（特別地，這個子集可以是X本身）的開集稱為該子集（或X）的鄰域.

定義4拓撲空間中的一個集稱作閉集，如果它的補是開集.

我們要強調(diào)指出，度量空間理論中所有利用開集和閉集的概念而得到的事實，在拓撲空間中都正確.

【參考文獻】

江澤堅.數(shù)學(xué)分析.北京：人民教育出版社，1965.