復合函數定義探析

馮所偉

本文討論復合函數定義中容易引起誤解之處，并從數學運算的角度給出復合函數的一個更易于理解的定義.

關于復合函數，很多教科書給的都是類似如下定義：

設函數y=f(u)的定義域是Df，函數u=g(x)的值域是Zg，若Zg∩Df不為空集，則將y=f(g(x))稱為由函數y=f(u)和u=g(x)構成的復合函數.y=f(u)稱為外層函數，u=g(x)稱為內層函數，也稱為中間變量.

對于上面這個定義，不少人通過學習之后，都認為y=f(u)與y=f(g(x))是相同的函數，因為它們都用y來表示.

那么，這兩個函數到底是不是相同的呢？

首先，要判斷兩個函數是否相同，主要是考慮兩個函數的定義域和對應法則是否都相同.看下面的例子，設f(u)=u2，g(x)=x+lnx，則得復合函數為f(g(x))=(x+lnx)2.第一，很顯然f(u)=u2的定義域是R，而f(g(x))=(x+lnx)2的定義域是R+，所以這兩個函數的定義域并不相同.第二，f(u)=u2的對應法則是對自變量進行平方，而f(g(x))=(x+lnx)2的對應法則是對自變量求自然對數后再加上自變量本身，最后才平方，所以這兩個函數的對應法則也是不相同的.

其次，不妨假設f(u)與f(g(x))相同，現有以下三個函數f(u)=u2，g1(x)=x+lnx與g2(x)=lnx，那么f(u)=u2與g1(x)=x+lnx復合可得f(g1(x))=(x+lnx)2，f(u)=u2與g2(x)=lnx復合可得f(g2(x))=(lnx)2.按照相同的假設，這里得到的兩個復合函數都等于f(u)，即f(g1(x))=(x+lnx)2=f(u)=f(g2(x))=(lnx)2，這顯然是錯誤的.

最后，函數的復合是一種數學運算，而數學運算指的是“依照數學法則求出算式結果的過程”(《現代漢語實用詞典》南方出版社).可以這么理解，數學運算是對已知量實施了某些動作，產生新的量的過程.復合函數就是幾個已知函數進行運算后得到的新函數，這個新函數怎么會在任何情況下都等于前面的其中一個已知函數呢？如果都等的話，這種運算便形同虛設了.所以，如果認為函數f(u)與f(g(x))是相等的，就如同是“當2+3=5時”，認為2和5是相等的一樣.

由上述幾點可知，函數f(u)與f(g(x))是不相同的函數，既然是不相同的，在一個命題里面，就不應該用相同的符號來表示，要不就會造成誤解，這正是不少人認為它們是相同的最直接的原因.另外，對于復合函數的定義，再從數學運算這一數學基本概念方面進一步強調其含義，就會更加清晰一些.因此，下面給出一個更易于理解的定義：

定義（復合函數）已知函數f(u)和g(x)，把g(x)代入f(u)得到f(g(x))的過程（代入指把u都換成g(x)），稱為函數的復合運算.若f(g(x))存在，則稱f(g(x))是由f(u)和g(x)復合而成的復合函數，此時稱f(u)為外層函數，g(x)為內層函數，稱u為中間變量，記作u=g(x).若f(g(x))不存在，則稱f(u)和g(x)進行復合運算時沒有意義.

幾點說明

（1）f(g(x))不存在是指自變量x的取值范圍是空集，即定義域為空；

（2）求函數時除了要寫出函數的對應法則（常表現為表達式），還要寫出函數的定義域，求復合函數也應如此；

（3）函數的復合運算可以由多個函數按一定的先后順序進行，如由f(u)，g(v)，h(x)按順序進行復合運算可得f(g(h(x))).

幾個求復合函數的例子：

例1已知函數f(u)=log2u，g(x)=x2+1，則f(u)和g(x)進行復合運算應得f(g(x))=log2(x2+1)，其定義域為R=(-∞，+∞)非空，所以復合函數f(g(x))=log2(x2+1)存在.

例2已知函數f(u)=log2u，g(x)=x2-x，則f(u)和g(x)進行復合運算應得f(g(x))=log2(x2-x)，其定義域D=(-∞，0)∪(1，+∞)非空，所以復合函數f(g(x))=log2(x2-x)存在.

例3已知函數f(u)=log2u，g(x)=-x2-1，則f(u)和g(x)進行復合運算應得f(g(x))=log2(-x2-1)，但此函數定義域D=粒所以f(g(x))不存在，即f(u)和g(x)進行復合運算時沒有意義.

【參考文獻】

［1］華東師范大學數學系.數學分析.北京：高等教育出版社.

［2］周誓達.微積分.北京：中國人民大學出版社.

［3］肖林元.函數的定義域會空嗎.數學教學，1996（1）.