概率教我們理性地認識世界

謝忠才

【摘要】隨機現象就在我們的身邊，概率論是指導人們從事物表象看到其本質的一門科學.本文通過一組常見實例闡述了概率知識教我們更為理性地認識世界.

【關鍵詞】隨機現象；概率；彩票；統計規律

在自然界和現實生活中，有兩類現象，一類是確定性現象，指在一定條件下，必定會出現某種確定的結果.如，在標準大氣壓下，水加熱到100攝氏度就必然會沸騰；兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.另一類是不確定性現象，這類現象在一定條件下的結果是不確定的.如，同一個工人在同一臺機床上加工同一種零件若干個，它們的尺寸總會有一點差異；在同樣條件下，科研人員進行小麥品種的人工催芽試驗，各顆種子的發芽情況有強弱和早晚之別等.為什么在相同的情況下，會出現這種不確定的結果呢？這是因為，我們說的“相同條件”是指一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然因素是人們無法事先預料的.這類現象，我們無法用必然性的因果關系，對現象的結果事先做出確定的答案.事物間的這種關系是屬于偶然性的，這種現象叫做偶然現象，或者叫做隨機現象.概率論就是研究隨機現象的一個數學分支.

概率，簡單地說，就是隨機現象中，一件事發生的可能性大小.比如，太陽每天都會東升西落，這件事發生的概率就是100%，因為它肯定會發生；而太陽西升東落的概率就是0，因為它肯定不會發生.但生活中的很多現象是既有可能發生，也有可能不發生的，比如未來的某一天會不會下雨，商場進某一種商品是賠還是賺，明天某市是否有交通事故等，這類事件的概率就介于0和1之間.在日常生活中，但凡不能確定發生與否的事件，可考慮用概率模型進行定量分析；這種不確定性給人們的大小決策帶來風險，而概率論的思想和方法，則是盡最大可能降低決策風險的有效手段.以概率為工具，解決事關國計民生的重大問題，那是概率論研究學者的事，但對普通人來講，知道了概率論的研究對象，明白一些粗淺的概率原理，卻能教我們理性地認識世界.

當前，彩票成了城鄉居民經濟生活中的一個熱點.據統計，全國100個人中就有3個彩民.有資料表明，通過對北京、上海與廣州三城市居民調查的結果顯示，有50%的居民買過彩票，其中5%的居民成為“職業”彩民.“以小搏大”的發財夢，是不少彩票購買者的共同心態，媒體幾乎天天報道中大獎的消息，更能觸動彩民的發財神經，好像只要買彩票，就能中大獎.對全體彩民來講，一定有人中大獎，這幾乎是必然事件，而對一個彩民個體來講，這卻是一個小概率事件，買有限次的彩票，就想中大獎，無異于大海撈針.這里以中獎率較高的雙色球為例，讓我們看一下投一注的理論中獎概率.

“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號碼（復式投注按所覆蓋的單注計）與當期開出中獎號碼相符的球色和個數確定中獎等級，紅色球號碼從1~33中選擇，藍色球號碼從1~16中選擇.

一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）（紅色球號碼順序不限，下同）；

二等獎：6個紅色球號碼相符；

三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

四等獎：5個紅色球號碼或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

五等獎：4個紅色球號碼或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

六等獎：1個藍色球號碼相符（有無紅色球號碼相符均可）.

雙色球六等獎概率：116＝0.0625＝6.25%.

由此看出，所謂“雙色球”中獎率高，就是因為藍球的關系，因為藍球有16個，而只要中了藍球就會中六等獎，即5元，中獎率為6.25%，要想中六等獎以上的獎項，真是難上加難，在龐大的彩民中，中大獎者只有極少數人.因此，購買彩票者應懷有平常心，彩票，玩玩可以，權當為福利事業添磚加瓦，萬不可傾其所有把它作為純粹的投資，更不應把它當成發財之路.

中國俗語“三個臭皮匠，抵個諸葛亮”表明，在許多情況下，普通人的群體智慧是具有超凡個人智慧無法比擬的優勢的，這一點可以通過揭示隱藏在隨機現象背后的統計規律性來加以說明.請看下面的實驗，科學家讓56人分別獨自猜測一個罐子里果凍軟糖的數量，結果56名參與者中，有55人的估計值與真實數目相差很遠，可是每個人的估計數加起來除以56得到的平均值，卻出乎意料地非常接近真實值.這群人的平均值為871，僅與真實數目850相差25%.大量的證據和實驗結果表明群體效應的神奇，認真分析后這些現象背后有它的數學統計規律.每個臭皮匠在對事物進行估計時，一般都考慮不夠全面，且他們的考慮角度和側重點是不同的，于是給出的估計值就會比真實值偏高或偏低，甚至偏差很大.但是當把每個人的估計值相加再取平均值就會把每個人考慮的角度都計算進去，相當于事物的各個因素都全面考慮到了，而且與真實數據相偏離的個人誤差基本上相互抵消，這樣群體就對事物作出了全面均衡的估計，也就更接近真實值.可見，這種群體效應，一個諸葛亮是比不上的.

我們所熟悉的四年一度的世界杯足球賽，共有32支球隊參加，采用的比賽規則是：分8個小組進行小組循環賽，根據成績取每小組的前兩名進入16強，然后逐對廝殺，決出前8名，半決賽，決出參加決賽的球隊，最后決出3，4名和冠、亞軍.這樣得到的冠軍是水平最高的球隊嗎?人們有理由這樣質疑，因為參加小組賽的球隊水平參差不齊，最終獲冠軍的球隊有可能還沒有另一組中沒出線的球隊水平高.公平的做法是：32支球隊每兩隊都進行一次比賽，勝者記3分，負者記0分，平局雙方各記1分，最后根據積分多少排出名次.事實上各大洲的足球聯賽正是采用的這種比賽辦法，為什么世界杯組委會不采用這種比賽辦法呢?我們知道，按世界杯目前的賽制，共64場比賽，加上休息時間，前后大約要一個月多一點的時間，若采用大循環賽制，則需要比賽C232=32×312=496（場），這是人力物力所不能承受的，由此，人們不難明白，為什么在大型體育比賽中，要先進行分組比賽.至于各大洲的足球聯賽，還有NBA，CBA籃球聯賽采用大循環賽制，甚至還有重復主客場，那是一種職業賽制，人為地延長比賽時間，增加比賽場次，則另當別論.

日常生活中我們總希望自己的運氣能好一些，碰運氣的也大有人在，就像考生面臨考試一樣，這其中固然有真才實學者，但也不乏抱著僥幸心理的濫竽充數者.那么，對于一場正規的考試僅憑運氣能通過嗎?我們以大學英語四級考試為例來說明這個問題.大學英語四級考試是全面檢驗大學生英語水平的一種考試，具有一定難度，包括聽力、語法結構、閱讀理解、填空、寫作等.除寫作15分外，其余85道題是單項選擇題，每道題有A，B，C，D四個選項，這種情況使個別學生產生碰運氣和僥幸心理，那么靠運氣能通過四級英語考試嗎?我們來計算一下僅憑運氣能通過的概率.假設不考慮寫作15分，及格按60分算，則85道題必須答對51題以上，這可以看成85重貝努利試驗，通過的概率為∑85i=51Ci85025i07585-i≈0874×10-11(用泊松分布近似替代查表計算).概率非常小，相當于1000億個靠運氣的考生中僅有0.874人能通過.所以靠運氣通過考試是不可能的.

概率已滲透到我們生活的各個領域，和我們日常生活密切相關并指導我們行動的有西瓜成熟度、火車正點率、天氣預報準確度、商品廣告可靠概率，等等；郵電系統發行有獎明信片的利潤計算，保險業的宣傳口號“平時注入一滴水，難時擁有太平洋”，招工考試錄取分數線的預測等無不包含著內容豐富的概率知識.因此，我們在生活和工作中，無論做什么事都要腳踏實地，對生活中的某些偶然事件要理性地分析對待.比如，隨著孩子的長大，家長都在設計孩子的未來，當你看到張怡寧、王皓、王楠、馬琳風光無限，名利雙收，想讓孩子學習乒乓球時，更要想到，在他們身后，有一個多么龐大的乒乓球大軍，雖長期在乒乓球臺前貢獻青春和汗水，卻不能在乒壇揚名立身.有了概率意識，將使人們能通過事物的表象看到事物的本質，在人生旅途上少走彎路.

作為數學教師，講概率論這門課時，根據所講內容，我總是適時地穿插講一些發生在我們身邊的具有概率思想的小例子，每當這時，學生都是直直地望著你，希望你講得多些，再多些.如果說，數學教育也是文化素質教育的組成部分，那么講授概率論課程，融入利用概率知識力所能及地認識和解釋我們的周邊世界就是對這一問題的最好注解.

【參考文獻】

［1］胡細寶，王麗霞.概率論與數理統計.北京：北京郵電大學出版社，2004.

［2］幾個臭皮匠等于諸葛亮.資料卡片雜志，2008（11）：60.

［3］雙色球福利彩票游戲規則.