莫比烏斯圈不是三維物體

王憲

【摘要】本文通過對莫比烏斯圈和普通環圈的制作過程與生成機理的比較后發現：莫比烏斯圈不是三維物體；再通過對生成莫比烏斯圈的不同方式的敘述，最終得出莫比烏斯圈不是三維物體的結論；如果能夠確定莫比烏斯圈不是三維物體，對正確認識莫比烏斯圈有現實意義.（因為我國正在小學教育階段推進介紹和認識莫比烏斯圈）

【關鍵詞】莫比烏斯圈；主體坐標系；從屬坐標系；雙重三維坐標；非三維物體；合成運動

一、關于莫比烏斯圈

1蹦比烏斯圈的形成

莫比烏斯圈是由［德國］數學家莫比烏斯先生在150年前公布于世的.

隨后，科學家就把莫比烏斯圈定位在數學領域的拓撲學分支里，其數學定義：單側的、閉路的、反轉定向的曲面.這樣的莫比烏斯圈最終只剩下一個“表面”和一條“邊緣”了.（見圖1下部和圖2）

2蹦比烏斯圈與普通環圈不同

經過觀察不難發現：普通環圈和莫比烏斯圈除了在制作方法和制作過程上完全不同以外，還表現在——如果在普通環圈和莫比烏斯圈的表面劃線并沿線進行裁剪，其裁剪結果竟會完全不同.

當對普通環圈的表面劃線并沿線裁剪時，能得到也只能得到——若干個與原圈等周長的“窄”普通環圈，而不會得到其他種類的環圈.

當對莫比烏斯圈的表面劃線并沿線裁剪時，其裁剪結果卻有兩種：

（1）在莫比烏斯圈表面劃一條中線并沿線將該圈剪開，會得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄一半的普通環圈（見圖3）.

（2）在莫比烏斯圈表面劃2條平均分布的等距離線條并沿線條將該圈剪開，則不僅能得到一個比原圈周長長一倍、比原圈寬度窄23的普通環圈，同時還能在其中心部位再得到一個單獨的、比原圈寬度窄23，且周長與原圈等長的“窄”莫比烏斯圈（見圖4）.

（以上關于莫比烏斯圈的裁剪結果已經成為所有中外數學書籍里，對莫比烏斯圈進行介紹的一部分）唯此，從莫比烏斯圈和普通環圈的制作方法與裁剪結果的不同可以說明，它們并不是同類物體！

二、莫比烏斯圈不是三維物體

為了證明普通環圈與莫比烏斯圈不是同類物體，下面通過兩種不同的制作和生成該兩種環圈的方法來比較并進一步證明.

1鋇諞恢種譜骱蛻成方法

制作普通環圈的方法如前文（1以及圖1）中描述的步驟進行.

而制作和生成莫比烏斯圈則需要通過兩個相互關聯的三維坐標系統（下文稱雙重三維坐標體系）來共同完成的.

首先，看第一個三維坐標系（xOy）（下文稱主導三維坐標系）（見圖5）.其原點位置為O，該主導三維坐標系x-y平面上有一個以O為圓心的“正圓”.該“正圓”就是莫比烏斯圈表面中心位置的基本軌跡線.

其次，看第二個三維坐標系（x′O′y′）（下稱從屬三維坐標系）（見圖6）.該從屬三維坐標系的原點位置為O′，處在主導三維坐標系內的“正圓”與x軸的交點上，從屬三維坐標系內x′—y′平面上的設定目標可以繞O′進行有規則運動.但該設定目標的有規則運動必須按照主導、從屬兩個三維坐標系之間相互依存，對應旋轉、位移、扭轉的特殊函數關系進行.

必須明確的是：主導和從屬三維坐標系在立體空間具體的相對位置關系上是相互平行或垂直的（見圖5，6），其中（xOy）的三個參數（xn，yn，zn）為自變量，（x′O′y′）的三個參數（x′n，y′n，z′n）為因變量，且主體和從屬三維坐標系之間應服從（x′，y′）=F（x，y）的對應關系.

這就建立了具有相互依存關系的雙重三維坐標系統.在該系統里，整個從屬三維坐標系是主導三維坐標系里的一個整體運動單元，隨主體三維坐標系做有規律的運動——公轉；而從屬三維坐標系里運動單元自身的運動，則與主導運動有著嚴格的對應受控運動關系——自轉.因此，處在該系統內設定目標的最終運動形式為合成運動.（既有公轉，又有自轉）

圖7是從屬三維坐標系整體在（xOy）x—y平面上，沿“正圓”軌跡移動的示意圖.（圖中未畫出0°~45°等處對應圖形）

在圖8里有一個左邊帶小圓圈的“⊥”形符號，該符號中的豎直線是一條起始于O′點，且垂直于x′軸，同時，它又是一條既平行于（xOy）z軸，也平行于（x′O′y′）y′軸的直線.另外，該符號中左邊帶小圓圈的橫線是一條既平行于（xOy）x軸，也平行于（x′O′y′）x′軸，且屬于該x′軸的一條直線，并且該直線的中點過（x′O′y′）原點坐標O′，且垂直y′軸的直線.

下面就以圖8中“⊥”形符號作為基本單元來描述生成莫比烏斯圈的過程：當從屬三維坐標系整體在（xOy）x—y平面內繞O旋轉2°（或1°）的同時，（x′O′y′）內x′—y′平面上過O′的直線也對應旋轉1°（或0.5°）.當從屬三維坐標系整體沿（xOy）x—y平面上的基圓旋轉、位移一周（360°）回到起始點O時，左邊帶小圓圈的“⊥”形符號也在x′—y′平面上繞O′旋轉半周（180°）回到起始位置O′，此時該符號卻正好被顛倒過來（見圖8）.如果將雙重三維坐標體系中被逐漸位移、旋轉的“⊥”形符號的空間中各點依次順序連接起來，就可以生成標準的莫比烏斯圈.（用“⊥”形符號的目的是使讀者易于觀察）

由此看出：生成莫比烏斯圈必須由相互依存的雙重三維坐標體系共同完成，單獨的三維坐標系無法生成莫比烏斯圈.（理由一）

2鋇詼種制作和生成方法

制作和生成普通環圈可以用下面的方式：先在主導三維坐標系的x—y平面內生成以原點O為圓心的“正圓”，然后在z軸的“正、負”方向上對“正圓”進行拉伸，就可以制作和生成普通環圈（見圖9）.

制作和生成莫比烏斯圈可以這樣完成：以x軸和“正圓”的交點為（x′O′y′）的原點O′，將已生成的外表面是藍顏色的、內表面是紅顏色的普通環圈剪開.

在（x′O′y′）的x′—y′平面內，以原點O′為扭轉中心，對普通環圈的一個端頭進行有規律的對應扭轉，其對應扭轉規律為：（x′O′y′）沿（xOy）在X—Y平面內連續旋轉的同時，將（x′O′y′）內x′—y′平面上的普通環圈肌體的對應段進行對應扭轉；當（x′O′y′）整體沿（xOy）基圓在x—y平面上旋轉、位移一周（360°）回到起始點O時，普通環圈的肌體也在x′—y′平面上繞O′扭轉半周（180°）回到起始位置O′，該環圈的肌體表面正好被翻轉過來，也就生成了莫比烏斯圈.（圖10是電腦用此法生成的莫比烏斯圈）

從圖10中可以看到：設定目標的運動結果是由雙重三維坐標體系中各坐標軸參數之間相互影響、連續變化的結果.正是這個相互影響和連續變化，才使得莫比烏斯圈的肌體上根本無法找到二維、三維線段或曲線.唯此足可以證明：莫比烏斯圈不是三維物體！（理由二）

三、莫比烏斯圈是“非三維”產物

下面用圖5，6，7，8，9，10來進一步證明莫比烏斯圈不是三維產物.

（1）在圖5的雙重三維坐標體系中（xOy）的三個平面與（x′O′y′）的三個平面之間有著一一對應的關系.

（2）當圖6里（x′O′y′）的x′—y′平面上y′軸的數值發生變化時，必然會影響并導致（xOy）的x—z平面上z軸的數值產生變化（其余軸類推），最終導致整個雙重三維坐標體系內所有數軸上的數值發生變化.

（3）當圖7中（xOy）的x—y平面上，以原點O為圓心旋轉，則（x′O′y′）里z′軸上的數值就會發生變化，這就必然導致（xOy）里各個數軸上的各數值直接或間接參與了、或發生了變化！

（4）當圖8中的“⊥”形符號整體沿x—y平面上繞O旋轉360°的同時，還在x′—y′平面內繞O′對應扭轉180°，如果連接該符號在空間相互對應的各個點，就會產生一種空間弧線.（該空間弧線不能產生于單獨的三維坐標體系.因為在單獨的三維坐標體系產生的空間弧線一定是某種對稱旋轉體表面的對稱母線，而該空間弧線則需經受六個維度上的扭曲變形.）（理由三）

（5）這里假設圖9所生成的普通環圈外表面是藍顏色的，內表面是紅顏色的.按照圖10的方式對其進行剪斷（假設剪斷處位于從屬三維坐標系的原點O′），將該環圈的各對應部分在雙重三維坐標系統內進行有規律的繞O旋轉360°和繞O′扭轉180°，并最終回到O′.此時，該普通環圈已經被變化成莫比烏斯圈.唯此可以證明：“非三維”物體可以由三維物體演變而來，條件是雙重三維坐標系統內各個維度上的具體參數必須全部相互影響并參與變化.這是任何一個三維物體所無法具備的.（理由四）

由于莫比烏斯圈是在雙重坐標體系內生成的，當在三維環境里對莫比烏斯圈進行裁剪時，其被裁剪下來的部分就解除了該坐標體系對它的“非三維”約束，其表現為被裁剪下來的是“窄”普通環圈；而剩余部分仍保留原“非三維”物體的基本形態，其表現為“窄”莫比烏斯圈.或者說：在莫比烏斯圈的肌體內將同時存在兩種狀態——普通環圈（三維狀態）和莫比烏斯圈（“非三維”狀態），這種狀態會永久存在，且無法用人為干預的方式將其改變！（相關內容請查閱論文《莫比烏斯圈的反常現象》）（理由五）

最后引述數學泰斗談祥柏先生的判斷來證明莫比烏斯圈不是三維物體.談老曾在《數學廣角鏡》P118中明確指出：在現實世界中克萊因瓶是無法被制造出來的！（其實該論點的本質是：克萊因瓶不是三維物體）數學家已證明：每個克萊因瓶是由兩個莫比烏斯圈組合而成的.而莫比烏斯圈通體圓潤，渾身都是空間曲線，沒有一條二維直線、曲線以及三維直線、曲線.因此，莫比烏斯圈不是三維物體，而是“非三維”物體！（理由六）

四、結論

莫比烏斯圈不是三維物體，而是人類沒有完全認知的“非三維”物體！

五、莫比烏斯圈里仍有未解之謎

是的，莫比烏斯圈里仍然存有許多鮮為人知的奧秘，莫比烏斯圈、莫比烏斯現象及其莫比烏斯原理也沒有得到學術界的認可，但并不影響我發表一孔之見，我將在專題論文《莫比烏斯圈的反常現象》和《重新認識莫比烏斯圈》里進一步闡述和探討莫比烏斯圈的相關問題.

當然，提交本文的真實目的是渴望能得到您對莫比烏斯圈、現象和原理作出更權威的準確詮釋和更睿智的思想升華！

【參考文獻】

［1］［德］莫比烏斯（1790—1868），數學家、天文學家，1858年公布莫比烏斯圈.

［2］［蘇聯］伏·巴爾佳斯基.拓撲學奇趣.長沙：湖南教育出版社，1999：43.

［3］華應龍.神奇的莫比烏斯帶.北京第二實驗小學精品課程，2005（1）：11-15.

［4］周康玲.上帝的骰子.發明與革新，2001年連載.

［5］談祥柏.數學廣角鏡.南京:江蘇教育出版社，1998：118.