巧用韋達定理簡化解題過程

楊燕

高中的平面解析幾何，是用代數方法來研究平面幾何圖形的問題，它所提出的問題以及問題的結論都是幾何形式，而中間的論證和推導基本上是用代數方法.有許多題型中都會涉及二次函數韋達定理的綜合應用.

韋達定理反映了方程根與系數的關系，在平面解析幾何中凡是與方程的根有關的問題，大多數可用韋達定理來求解，如解決交點坐標關系、定值、軌跡方程等.

本文通過近幾年高考及模擬試題的一些具體的例子，淺析韋達定理在解析幾何中的綜合應用.

一、構造二次方程運用韋達定理

例1（2011年浙江高考）已知拋物線C1：x2=y，圓C2：x2+(y-4)2=1的圓心為點M.

（1）求點M到拋物線C1的準線的距離.

（2）已知點P是拋物線C1上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C1于A，B兩點，若過M，P兩點的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

解（1）解略.M到拋物線C1的準線的距離為174.

解得x20=235.

即點P的坐標為±235，235，所以直線l的方程為y=±3115115x+4.

點評過圓外一點引圓的切線有兩條，此題就用兩直線的斜率構造了二次方程，再利用韋達定理得到兩斜率的和與積與動點P的橫坐標的關系，再次利用兩切線與拋物線相交的交點橫坐標為變量，構造關于這兩交點橫坐標為根的二次方程，雖然設了兩個斜率，但沒有真正求出，正體現了韋達定理的妙用之處——設而不求，此題很好地利用了韋達定理.

例2如圖，P是拋物線y2=2x上的動點，點B，C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內切于△PBC，求△PBC的面積的最小值.

解設點P（x0，y0），B（0，b），C（0，c）.

又S△PBC=|b-c|2x0，直線PB：y-b=y0-bx0x與圓相切，

∴1=|y0-b+bx0|(y0-b)2+x20，

整理得(x0-2)b2+2y0b-x0=0.

同理，(x0-2)c2+2y0c-x0=0，

∴b,c是方程(x0-2)t2+2y0t-x0=0的兩個根.

因此(b-c)2=(b+c)2-4bc=2y0x0-22-4·-x0x0-2=4y20+4x20-8x0(x0-2)2=2x0x0-22，

∴S△PBC=|b-c|2x0=x20x0-2=t2+4t+4t=t+4t+4≥8，

其中t=x0-2>0，當x0=4時取得最小值.

點評此題同樣是解決直線與圓的切線問題，與上一題不同之處是，此題構造了關于兩直線與y軸的交點的縱坐標為變量的二次方程，同樣是設而不求使解答過程得到了簡化.

二、利用韋達定理求軌跡方程

例3（2010年河南省調研）由動點P向橢圓x24+y2=1引兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，∠APB=90°，則動點P的軌跡方程.

解設P（x0,y0），kPA=k1，kPB=k2，則k1k2=-1.

將直線y-y0=k1(x-x0)代入x24+y2=1，

整理，得(1+4k1)x2+8k1(b-k1a)x+4(b-k1a)2-4=0.

∵AP與橢圓相切，∴Δ=0.

整理，得1+4k21=(b-k1a)2.①

同理，得1+4k22=(b-k2a)2.②

由①②可知：k1,k2為方程(x20-4)k2-2x0y0k+y20-1=0的兩根，

由韋達定理可知：k1k2=y20-1x20-4=-1，