及時調整視角,尋找解題思路

李富權

觀察客觀事物，必須從不同角度、不同的方位審視它才能認識事物的本質，解數學題也是如此.所謂一題多解、多題一解，其實質都是一個視角的問題.同一道題目，有時看起來困難重重，無從下手，變換一個角度審視它卻一目了然，易如反掌.因此，在解題過程中，如果能靈活自如、不失時機地調整視角，不但可以曲徑通幽，“難”題不難，而且能獨辟蹊徑，達奇思妙解之效果.

一、對同一數學表達用不同的“眼光”去觀察，用不同的觀點去分析

在解題過程中，如果能用不同的眼光審視同一個表達式，從不同的角度理解它，聯想它在不同學科中的含義，就能迅速找到解題“入口”，得到各種解法.

例1已知函數f(x)＝1+x2（x∈R），試證明：|f(a)-f(b)|≤|a-b|.

證法1用三角代換思想去觀察表達式1+x2，可聯想到關系式1+tan2θ=sec2θ，問題變為證明|secθ1-secθ2|≤|tanθ1-tanθ2|，這比直接證原題容易多了.

證法2用解析幾何的觀點去觀察f(x)=1+x2表示的是雙曲線y2=x2+1的上半支，而|f(a)-f(b)||a-b|是曲線上兩點(a，f(a))和(b，f(b))連線斜率的絕對值，而雙曲線的漸近線的斜率正好為±1，這個問題極易解決.

證法3在平面直角坐標系中，1+x2可看做點(x，1)到原點的距離，則|f(a)-f(b)|≤|a-b|的含義就是平面內三角形兩邊之差不大于第三邊，這是明顯的事實.

證法4從復數的角度去看待1+x2，聯想到復數z=x+i(或z=1+xi)的模，因而證明不等式|f(a)-f(b)|≤|a-b|就是證明復數模不等式||z1|-|z2||≤|z1-z2|.

二、注意“背景”和“對象”的轉換

在解數學題的過程中，由于思維定式的影響，人們在解決多個變量問題時，往往先入為主地把某一類“變元”確定為對象，而把其他變元置于“背景”地位，這樣做在通常情況下可行，但在某些情況下則很困難，這時，若能及時交換“對象”和“背景”的位置則很可能輕易得解.

例2解關于x的方程：x4-2ax2+x+a2-a=0.

習慣上，我們總是以x為方程的未知量，這個四次方程是不好求解的，若視為關于a的二次方程，a2-a(2ax2+1)+(x4+x)=0，顯然可分解為(a-x2-x)(a-x2+x-1)=0，從而有x2+x-a=0或x2-x+(1-a)=0.對a討論，這兩個二次方程不難解出.

例3若a2+b2=1，a，b均不為0，求證：a+1a2+b+1b2≥9.

此題人們常用不等式性質、換元法等去解，但事實上可以把點A(a，b)看做在直線ax+by=1上，點P-1a，-1b到點A的距離不小于它到直線ax+by=1的距離，即a+1a2+b+1b2≥a-1a+b-1b-1a2+b2=3，所以a+1a2+b+1b2≥9.

三、排除干擾因素，攝取“特寫鏡頭”

解某些數學題時，常采取集中條件，排除干擾，攝取“特寫鏡頭”，如多項多乘除的豎式運算的分離系數法、解線性方程組的行列式法或矩陣法.在立體幾何中，這種方法更有用武之地，因為在空間圖形中，往往存在一些特殊的平面，它們能把題目中分散關系集中于其上，能把已知條件和結論掛上鉤，能把條件中隱含的有關圖形性質顯示出來，只要找到了這樣的平面，就可以把它們從原立體圖中隔離出來，畫成真實直觀的平面圖形成為“特寫鏡頭”，從而用平面幾何方法解決原題.

例4如圖，已知三棱錐P-ABC的側棱PA，PB，PC上分別有一點A1，B1，C1且滿足PA1PA=mn，PB1PB=pq，PC1PC=rs.又知三棱錐P-ABC的體積等于V，求三棱錐P-A1B1C1的體積.

解考慮三棱錐C1-PA1B1和三棱錐C-PAB，則PC1∶PC=r∶s，可知C1到底面PA1B1的距離與C到底面PAB的距離之比為r∶s.

總之，調整視角對于尋求解題契機，培養思維的靈活性，提高數學能力具有十分積極的作用，我們應該進行這方面的學習和訓練.