含參一元二次不等式的解法

朱遠軍

“分類討論”是高中數學的重要思想之一，也是每年高考的必考內容.而含參一元二次不等式的解法是這一思想方法的具體體現，但同學們學起來難度很大，往往會出現解題思路亂，分類標準不清，寫不出準確結果等現象.筆者愿以教學過程中對此類問題的思考與讀者交流，以便同學們的學習和老師的教學.

筆者認為，此類型解法的基本思路和步驟與“數字型”的一元二次不等式的解法的思路和步驟是一樣的.第一步，將其化為ax2+bx+c>0（或<0)；第二步，求判別式（或因式分解）；第三步，求根和確定兩根大小，并利用相應的二次函數的圖像寫出解集.下面舉例說明.

例1解關于x的不等式：x2-3x+2≤3ax-6a.

分析按“數字型”的解法的思路和步驟依次進行.

解原不等式等價于x3-3(a+1)x+2(3a+1)≤0，

Δ=9(a+1)2-8(3a+1)=(3a-1)2≥0，

相應的一元二次方程的根為x=3(a+1)±(3a-1)2，

即x1=3a+1，x2=2，x1-x2=3a-1.

（1）若3a-1<0，即a<13時，x1

（2）若3a-1=0，即a=13時，x1=x2.

此時，原不等式化為x2-4x+4≤0，∴x=2.

（3）若3a-1>0，即a>13時，x1>x2，此時2≤x≤3a+1.

綜上所述，當a<13時，解集為{x|3a+1≤x≤2}；

當a=13時，解集為{2}；

當a>13時，解集為{x|2≤x≤3a+1}.

點評1鄙鮮黿夥ǖ諞弧⒍步與“數字型”的思路完全一樣，只是第三步在求出根時，由于兩根大小與a的取值有關，故用x1-x2的值大于（等于或小于）0來確定兩根大小并求出相應的a的范圍，最后根據相應的二次函數的圖像寫出解集.

2鄙鮮鑾蟾時，也可用“十字相乘法”因式分解求得.

例2解關于x的不等式axx-1<1.

2庇捎詼次項系數含參數a，看似很復雜，但整體上只分兩類a=1（一元一次不等式）和a≠1（一元二次不等式）.

3痹詰詼類a≠1中，由x1，x2的大小關系分了三類并求出相應的a的范圍，根據a的范圍再考慮二次項系數的符號，根據相應的二次函數的圖像寫出解集.

4痹赼≠1的①類中，又分兩類，主要是因為a<0或a>1時，雖然都有x2

5薄白凵纖述”這一步是為了讓結果更加清晰、集中，最好是按a的取值大小從左到右寫出，這樣思路更清晰.

總之，含參型一元二次不等式的解法，首先要按“數字型”一元二次不等式的解法的基本思路和步驟進行，在此基礎上，要確定兩根的大小，由此算出相應參數的范圍，再由參數的范圍確定二次項系數的符號，最后寫出相應的解集.