《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》數(shù)學(xué)問題360的簡證

韋興洲

【摘要】《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》2011年第12期孫文彩老師給出了一個(gè)值得探究的問題，筆者通過構(gòu)造函數(shù)提供了證明.

【關(guān)鍵詞】等式;證明;函數(shù)

問題360對(duì)于給定的常數(shù)ρ∈R，ρ≠2，ρ≠0，等式sinρθ+cosρθ=222ρ0<θ<π2成立.求證:sinθcosθ=12.

證明記f(θ)=sinρθ+cosρθ0<θ<π2.

由fπ2-θ=f(θ)，得曲線y=f(θ)關(guān)于直線x=π4對(duì)稱，故只需研究θ∈0，π4時(shí)的情形.

而f′(θ)=ρsinρ-1θcosθ-ρcosρ-1θsinθ

=ρsinθcosρ-1θ(tanρ-2θ-1).

（1）易得當(dāng)ρ∈(-∞，0)時(shí)，f′(θ)<0θ∈0，π4，故y=f(θ)在0，π4上單調(diào)遞減，從而f(θ)≥fπ4，即f(θ)≥222ρ0<θ<π2.

所以，當(dāng)0<θ<π2時(shí)，f(θ)=222ρ葒=π4輘inθcosθ=12.

（2）同（1）可得，當(dāng)ρ∈(0，2)時(shí)，f(θ)≤222ρ0<θ<π2（當(dāng)且僅當(dāng)θ=π4時(shí)等號(hào)成立），所以，當(dāng)0<θ<π2時(shí)，f(θ)=222ρ葒=π4輘niθcosθ=12.

（3）同（1）可得，當(dāng)ρ∈(2，+∞)時(shí)，f(θ)≥222ρ0<θ<π2（當(dāng)且僅當(dāng)θ=π4時(shí)等號(hào)成立），所以，當(dāng)0<θ<π2時(shí)，f(θ)=222ρ葒=π4輘inθcosθ=12.

綜合（1）（2）（3），原命題得證.

評(píng)注從圖像上看，關(guān)于直線x=π4對(duì)稱的曲線C：f(x)=sinρx+cosρx0