一元二次方程教法的思考

于紅平

【摘要】數學教學的目的在于培養學生解決問題的能力和創新能力，學生解決問題的能力和創新能力的培養離不開知識和技能的掌握，知識、技能是以方法為中介對能力結構起作用的，數學方法中又包含著對數學知識和方法起本質概括作用的數學思想，如轉化思想、方程(函數)思想、分類思想、數形結合思想等.所以，讓學生掌握數學方法具有更重要的意義.

【關鍵詞】一元二次方程；解法；思想

在“一元二次方程的解法”這一節中，我們接觸了許多數學方法，這是這一章學習的重點，只有學生學會了這些方法，才能運用它們解決解一元二次方程的問題.那么，在本節課的設計中，就必須考慮如何使學生掌握這些數學方法.

一、對一元二次方程四種基本解法的思考

1敝苯涌平方法

當方程中一次項的系數為零時，方程可變形為x2=-ca的形式，或方程是一個含未知數式子的平方，即(x+a)2=b(b≥0)的形式，才可以用這種方法.

“直接開平方法”具有承上啟下的作用，既可復習鞏固有關“數的開方”的知識，又可以通過解(x+a)2=b(b≥0)形式的方程導出配方法，因此，必須熟練掌握.

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配方法是解一元二次方程的通法.配方，就是利用公式a2±2ab+b2=(a±b)2把一個二次三項式配成完全平方的形式，配方法解方程就是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)變形為x+b2a2=b2-4ac4a2的形式，再利用開平方法求方程的解.

用配方法解方程，步驟較繁，但是，配方法是導出求根公式的關鍵，它的重要性不僅僅表現在一元二次方程的解法中，今后學習二次函數時，到高中學習二次曲線時，經常用到.配方的過程是一個自始至終充滿思維活力的過程，是對學生進行基本技能訓練，提高思維素質的絕好材料，所以，教學中不僅要把這種方法的運用落實在解一元二次方程中，更重要的是必須著眼讓學生熟練地把握這種方法的操作步驟，從語言的表述到字母的表示，都應在教學設計中體現出嚴格的要求.

3憊式法

運用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.求根公式的導出是對一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)運用配方法的直接結果.求根公式的推導，主要依賴配方法和開方運算兩部分知識來完成，對于公式的推導應給予足夠的重視.運用公式法解方程是教學的重點，它是解一元二次方程的通法，具有普遍適用性，運用公式法的實質是求代數式的值或化簡代數式.從這層意義上講，運用公式法解一元二次方程是一種綜合訓練，能夠有效地提高學生的運算能力，其重要性是不言而喻的.用公式法解一元二次方程，首先，要把原方程化為一般形式，因為公式中的a，b，c是對一般形式而言的；其次，要確定b2-4ac的符號，b2-4ac≥0是公式成立的必要條件；最后，是代入公式計算、求根.對學生的解題步驟應提出嚴格的要求，使學生養成良好的學習習慣.

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如果一個一元二次方程可變形為左邊分別為兩個關于未知數的一次因式的乘積，右邊為零，即(ax+b)(cx+d)=0的形式，則令每一個因式為零，從而把一個一元二次方程化為兩個一元一次方程來求解.對于因式分解法的教學，應突出“降次”求解的思想.用因式分解法解方程前，先要將已知方程化成一般形式，應把它作為一個解題步驟提出來，這樣可以有效防止出現諸如“x2-x-12=1，得(x-4)(x+3)=1.然后，令x-4=1和x+3=1，方程的解為x1=5，x2=-2”的錯誤.

二、對有關數學思想的思考

1弊化思想

轉化思想就是把未知轉化為已知，把復雜轉化為簡單，把新問題轉化為已經解決過的問題的思想，是解決數學問題乃至自然科學和社會科學問題的重要指導思想，具有普遍的意義和廣泛的應用價值，它貫穿于一元二次方程的解法這一節的始終.首先，在轉化思想的指導下，課本給出了前三種基本解法的順序結構(直接開平方法→配方法→公式法)；其次，在許多具體問題的處理中，我們通過開平方法、配方法、換元法、因式分解法實現了由繁向簡、由未知向已知、由二次向一次的轉化；最后，用公式法解方程，必須先把方程轉化為一元二次方程的一般形式.本節內容的學習，有助于學生轉化意識的培養和轉化思想的掌握.

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有些數學問題的解決，可能條件和結論不唯一確定，有多種可能，需要從問題的實際情況出發進行分類討論.本章一開始，就給出了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，這里a≠0是方程ax2+bx+c=0為一元二次方程的充分條件，它蘊涵著分類的思想.對于方程ax2+bx+c=0，要防止學生形成a一定不為零的思維定式，如果所研究的問題中明確指出了方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，則它隱含了條件a≠0；否則，方程ax2+bx+c=0既可能是一元二次方程(當a≠0時)，也可能是一元一次方程(當a=0且b≠0時).因此，復習時，應有的放矢地通過具體的例子(如(3-2x)x+5x=8-2x2)予以強調.對學有余力的學生，還應適當增加一些練習.如：當a，b，c滿足什么條件時，方程(a-1)x2-bx+c=0分別是一元二次方程和一元一次方程?解關于x的方程a2x2-2ax+1=x(ax-1).使他們對有關概念有更加清晰的認識，對分類思想有更深的感悟.其次，求根公式中b2-4ac≥0這個條件就是方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有解的分類依據，當然，這在后面的學習中還會繼續研究.

三、結語

一元二次方程及其解法是代數教學的重點內容，它既是對初中階段整式方程知識的總結，又是學習分式方程、無理方程和其他數學知識的基礎，又有助于學生對解方程的思想和方法形成較為清晰、透徹的認識.所以，上好這節復習課至關重要，一定要予以高度的重視.