淺談數(shù)學教學中的模型構建

王清德

隨著科學技術的飛速發(fā)展和計算機的廣泛應用，數(shù)學日益成為一種技術，其手段就是計算機和數(shù)學模型的構建.在教學過程中如何適當引導學生進行數(shù)學建模，不僅可以使學生體會到數(shù)學并非只是一門抽象的學科，而且可以使學生感受到利用數(shù)學模型構建的思想結合數(shù)學方法解決實際問題的妙處，進而對數(shù)學產(chǎn)生更大的興趣.

下面結合本人教學實踐，談幾種常見數(shù)學模型的構建方法，與同行們共切磋.

一、方程與不等式模型

這類型的數(shù)學模型的構建，常以市場經(jīng)濟為背景，或以環(huán)保、當前時事為載體，綜合各種代數(shù)知識考查分析、綜合與分類討論的能力.

例1國家為了關心廣大農(nóng)民群眾，增強農(nóng)民抵御大病風險的能力，積極推行農(nóng)村醫(yī)療保險制度，某市根據(jù)本地的實際情況，制定了納入醫(yī)療保險的農(nóng)民醫(yī)療費用報銷規(guī)定，享受醫(yī)保的農(nóng)民可到定點醫(yī)院就醫(yī)，在規(guī)定的藥品品種范圍內(nèi)用藥，由患者墊付醫(yī)療費用，年終到醫(yī)保中心報銷、醫(yī)療費的報銷辦法：

報銷比例標準不予報銷70%80%

（1）設某農(nóng)民一年的實際醫(yī)療費為x元（500

（2）若某農(nóng)民一年內(nèi)自付醫(yī)療費為2600元（自付醫(yī)療費=實際醫(yī)療費-按標準報銷的金額），則該農(nóng)民當年實際醫(yī)療費為多少元？

（3）若某農(nóng)民一年內(nèi)自付醫(yī)療費不少于4100元，則該農(nóng)民當年實際醫(yī)療費至少為多少元？

評析解決本題關鍵是準確獲取圖表中的信息，抓住自付醫(yī)療費為2600元及不少于4100元，把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題——方程或不等式的模型，同時把實際醫(yī)療費分段進行討論.

解（1）y=710（x-500）(500

（2）設該農(nóng)民一年內(nèi)實際醫(yī)療費為x元，則當x≤500時，不合題意.

當500

答：該農(nóng)民一年內(nèi)實際醫(yī)療費為7500元.

（3）設該農(nóng)民一年內(nèi)實際醫(yī)療費為x元.

∵500+（10000-500）×0.3=3350<4100，∴x>10000.

∴500+（10000-500）×0.3+（x-10000）×02≥4100，解得x≥13750.

答：該農(nóng)民當年實際醫(yī)療費至少為13750元.

二、方程與函數(shù)模型

函數(shù)與方程是中學代數(shù)的重點，它主要以函數(shù)為主線，建立函數(shù)圖像及性質(zhì)，相關知識的綜合，提煉并構建方程模型或函數(shù)模型.

例2通過實際研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學生聽課的注意力指標數(shù)是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散，學生注意力指標數(shù)y隨時間x（min）變化的函數(shù)圖像如圖（y越大表示注意力越集中），當0≤x≤10時，圖像是拋物線的一部分；當10≤x≤20和20≤x≤40時，圖像是線段.

（1）當0≤x≤10時，求注意力指標數(shù)y與時間x的函數(shù)關系式.

（2）一道數(shù)學綜合題，需要講解24 min，則老師能否經(jīng)過適當安排，使學生聽這道題時，注意力的指標數(shù)都不低于36？

評析此問題是發(fā)生在學生身邊的實際問題，先建立兩個函數(shù)關系式的數(shù)學模型，然后利用數(shù)形結合，運用待定系數(shù)構造幾個方程，使問題得到解決.

解（1）設0≤x≤10時的拋物線為y=ax2+bx+c，由圖像知拋物線過（0，20），（5，39），（10，48）三點，

∴c=20，

25a+5b+c=29，

100a+10b+c=48，解得a=-15，

b=245，

c=20.

∴y=-15x2+245x+20(0≤x≤10).

（2）設20≤x≤40時，直線解析式為y=kx+m，由圖像知直線過（20，48），（40，20）兩點，

∴20k+m=48，

40k+m=20，解得k=-75，

m=76.∴y=-75x+76.

當0≤x≤10時，令y=36，得36=-15x2+245x+20，

解得x1=4，x2=20（舍去）；

當20≤x≤40時，令y=36，得36=-75x+76，

解得x=2007=2847.

因為2847-4=2447>24，所以老師可以通過適當安排，在學生的注意力指標數(shù)不低于36時，講授完這道數(shù)學綜合題.

三、幾何模型

《新課程標準》理論指導下的基礎課程，在幾何內(nèi)容的設置上，著重加強“幾何模型構建及其探究過程，培養(yǎng)應用能力”等方面的內(nèi)容.因此，考查學生建立幾何模型解決問題能力的試題已日益受到中考命題專家的青睞和使用，此處不再舉例說明.

總之，數(shù)學模型的構建是解決問題的過程，也是一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程.在這一過程中，數(shù)學模型構建是關鍵，也是難點.解題時應注意：（1）仔細審題，理解實際背景材料和所掌握的信息，對問題作出簡化，并且提出假設.（2）數(shù)學模型的構建，將實際問題利用數(shù)學工具尋求有關事物之間的聯(lián)系轉(zhuǎn)化成為數(shù)學問題來解決.（3）求解數(shù)學模型與檢驗，從而得到實際問題的解答.

【參考文獻】

張幫球.淺談初中數(shù)學模式的建立［J］.教師（理論研究版），2009(2).