對一類無理函數值域求法的選取策略

黃欣

【摘要】本文以一題四變的形式對形如y=ax+b±cx+d求值域的方法進行分析.求值域方法多種多樣，對上述類型也不例外，但對于同一題目而言難易程度很不一樣，比如用導數法求函數值域理論上是可以的，但有時帶來不必要的繁瑣.本文基于既容易且思路又比較好的觀點出發給出相應的方法策略.

【關鍵詞】無理函數；觀察法；換元法；構造幾何法；導數法

一、一題四變

求下列函數值域：

（1）y=x-4-15-3x；（2）y=x-4+3x+15；

（3）y=x-4+15-3x；（4）y=x-4-3x+15.

二、分類解法

（一）觀察法（單調性）

如（1）y=x-4-15-3x.

解顯然f(x)=x-4和g(x)=-15-3x在各自定義域上是單調增的，

∴y在4≤x≤5上是增的，∴y∈［-3，1］.

同理，對于（2）y=x-4+3x+15，易得y∈［0，+∞).

因此，對于求y=ax+b±cx+d值域，首先就是觀察是否有單調性，若然就按（1）或(2)解之，快捷有效.

小結（1）和（2）類型是一次項（x）的系數同號兩根式相加或系數異號兩根式相減型.需要注意的是有些稍作變形就可看出單調性，如：

y=x+2-x+1分子有理化，

得y=1x+2+x+1.

函數在［-1，+∞)是遞減的，∴x=-1時，ymax=1.

又y>0，

∴y∈(0，1］.上例屬于（4）代表的類型，但這不是通法對于（4）式代表的類型而言.

對于（4）式y=x-4-3x+15我們用如下方法：

（二）導數法

解y′=12x-4-323x+15

=3x+15-3x-42x-4·3x+15(x≥4).

令y′>0，得x<516.

令y′<0，得x>516.

∴當x∈4，516遞增，x∈516，+∞遞減.

∴當x=516，ymax=-32，∴y∈［-∞，-32］.

小結（4）式類型是一次項（x）的系數同號兩根式相減型.正如題頭所說，不是每個題目都適合導數法或者說導數法用得很輕松，但就（4）式類型而言是相對較好的方法，理論及依據可靠，解法嚴密，計算起來也不繁瑣.如果用換元法，一般是設x-4=a，x+5=b，則b2-a2=9，于是設b=3secθ，a=3tanθθ∈0，π2.但超過了新課標（三角函數由6個減為3個）的要求，而且即使運算也是難度非常大的.

三、結語

對于求y=ax+b±cx+d值域方法的考慮順序，首先觀察是否有單調性，再考慮是否用換元法，最后考慮用導數法，按這種方法求解函數y=ax+b±cx+d值域是行之有效快捷準確的.