一道錯題的錯解分析

彭海雄

（廣東省惠州市仲愷中學516229）

原題已知偶函數f(x)對任意x∈R，都有f(x)=-f(x+1)，當x∈［-3,-2］時，f(x)=4x+12，則f(125)等于（）.

A2

B3

C4

D5

解法回顧

解法1由f(x)=-f(x+1)，可知

f(x)=-f(x+1)=-［-f(x+2)］=f(x+2)，

即f(x)的周期T=2.

又由f(x)是偶函數，且當x∈［-3,-2］時，

f(x)=4x+12，

∴f(125)=f(25)=f(-25)=4×(-25)+12=2.

故選A.

解法2畫函數f(x)的圖像：

由圖像可知f(125)=2.故選A.

錯解發現

1庇蒮(x)=-f(x+1)，得f(x)+f(x+1)=0，即f(x)與f(x+1)相反，所以f(x)的圖像一定出現在x軸的上方和下方，解法2的圖像沒有出現在x軸的下方，不符題意，因此解法2是錯解.

2比綣解法2是錯解，那么解法1呢？從結果看，解法1與解法2的結果相同；從解題過程看，都是利用了函數的奇偶性與周期性；因此解法1也是錯解.

錯解原因

解法1與解法2都錯了，錯在哪里？有沒有正解呢？解法1與解法2都是利用了函數的奇偶性與周期性，而“f(x)=-f(x+1)”是“f(x)的周期T=2”的充分不必要條件.因此，將條件“f(x)=-f(x+1)”換成“f(x)的周期T=2”，于是有：

原題變式1已知偶函數f(x)的周期T=2，當x∈［-3,-2］時，f(x)=4x+12，則f(125)等于（）.

A2