淺議中學數學中的數形結合思想

馬春彥

數形結合是中學數學重要的基本思想方法之一，是數學的本質特征.在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的圖形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，使數與形的信息相互滲透，可以開拓我們的解題思路，使許多數學問題簡單化.新教材打破了原來的代數、幾何分家的現象，不僅從形式上把代數、幾何統一編排，而且在內容的處理上也提出明確的要求，在很大程度上也體現了數形結合的思想.教師要充分利用教材，著力培養學生形成數形結合的思維.

一、應用數形結合思想應注意的幾個問題

數與形是中學數學研究的兩類基本對象，相互獨立，又互相滲透.尤其在坐標系建立以后數與形的結合更加緊密，而且在數學應用中若就數而論，缺乏直觀性，若就形而論缺乏嚴密性，當二者結合往往可優勢互補，收到事半功倍的效果.

（1）要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；

（2）要恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；

（3）要正確確定參數取值范圍的作用.

二、數形結合在中學數學中的主要應用

數形結合思想貫穿于高中數學的始終，它是數學思想方法的核心，中學數學中的多項內容都用到數形結合，教師要引導學生對此加以靈活應用.

1筆形結合在集合中的應用

在新課標必修1的《集合》中，對于集合的各種運算和關系，如果能借助韋恩圖，便能使問題直觀、具體，從而更好的解決問題.

例1有48名學生，每人至少參加一個活動小組，參加數理化小組的人數分別為28，25，15，同時參加數理小組的8人，同時參加數化小組的6人，同時參加理化小組的7人，問同時參加數理化小組的有多少人？

2筆形結合在函數中的應用

函數是高中數學的主要內容，它在高中數學中的地位和作用毋庸言表，在這章，數形結合思想的應用尤為廣泛.利用二次函數圖像解二次方程、二次不等式，有關指數函數、對數函數單調性應用，方程和不等式問題等都需結合兩類函數的圖像；近幾年加大對三角函數圖像的考查，順利解決這類問題最主要就是看識圖畫圖能力.

如一些數值大小的比較，我們可轉化為對應函數的函數值，利用它們的圖像的直觀性進行比較.

例2試判斷032，log203，203三個數之間的大小順序.

分析這三個數我們可以看成三個函數：y1=x2，y2=log2x，y3=2x，在x=03時，所對應的函數值.在同一坐標系內作出這三個函數的圖像(如圖)，從圖像可以直觀地看出當x=03時，所對應的三個點P1，P2，P3的位置，從而可得出結論：203>032>log203.

3筆形結合在向量部分的應用

向量的加法、減法可以通過平行四邊形法則解決，由此很多向量問題可以轉化為幾何問題，借助幾何圖形快速解決.

4筆形結合在數列中的應用

等差數列、等比數列都可以看做關于n的函數，特別是等差數列.通項公式an是關于n的一次函數，前n項和Sn是關于n缺常數項的二次函數，在解決等差數列中的最值問題時尤為好用.

5筆形結合在解析幾何中的應用更無須多言

解決這類問題首先要畫圖定位.華羅庚曾指出：“三角與解析幾何有極多的數形結合處.”可見數形結合思想在這章的重要性.

三、如何在課堂教學中滲透數形結合思想

1鄙透數形結合思想要有層次地進行

數學思想方法的內容相當豐富，任何一種數學知識的講解及數學思想的滲透都要注意學生的接受能力，認真鉆研課標和教材，結合學生實際，配備不同的例題，調動全體學生的學習積極性，由易到難，由淺入深，滲透數形結合這一數學思想.

2鋇鞫學生的積極性，提高滲透的自覺性

數學概念、公式等知識都明顯地寫在教材中，是有形的，而數學思想卻隱含在數學知識體系里，是無形的，并且不成系統地分散于教材各章節中.因此，作為教師首先要更新觀念，從認識和思想上不斷提高在數學課堂教學中滲透數學思想方法的重要性，把掌握數學知識和滲透數學思想方法同時納入教學目標，把數學思想方法的滲透要求融入教學設計中.其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數形結合思想方法滲透的各種因素，對于可以應用數形結合的每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行這一思想的滲透.同時要讓學生明白數形結合這一數學思想的重要性，在學習過程中提高自我學習的意識.

3狽錘囪盜罰不斷總結反思，確保學生掌握數形結合這一數學思想

使學生形成數形結合的數學思想，必須經過循序漸進和反復訓練，才能使學生真正地有所領悟和掌握.教師的提煉和概括是十分重要的，教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩、概括數學思想方法的能力，還應在適當的時候進行“畫龍點睛”式地總結，這樣才能把數學思想方法的滲透落在實處.