排列應用題常用解題思想及解題方法例析

楊鋒峰

排列應用題是數學教學中的難點，本文就其解題思想及解題方法舉例做些分析，以期能對數學學習者有所啟示.

一、常用解題思想

1被歸思想

解題意味著什么——就是把所要解決的問題轉化為已經解決的問題.

例1同室4人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人的賀卡，求不同的分配方式.

分析我們建立數學模型轉化為數學問題——用1，2，3，4這4個數字組成無重復數字的四位數，其中1不在個位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位數共有多少個？

2倍猿撲枷

挖掘題目中隱含的對稱性，運用對稱思維解題，能得到簡捷的解法.

例2A，B，C，D，E五人并排站成一排，B必須在A的右邊（A與B可以不相鄰），有多少種不同的排法？

分析考慮對稱性，B在A的右邊與B在A的左邊的機會均等，所以排列為A552=60(種).

3蹦娣此枷

對有些數學問題，如果從正面去探求常常一籌莫展，但是若改變一下思維的角度，從問題的反面進行逆向思考，常能找到解題的方法.

例3一個小組共有10名同學，其中4名女同學，6名男同學，要從小組內選出3名代表進行排列，要求至少有一名女同學，一共有多少種排法？

分析至少一名女同學包括三類.第一類：1名女生，2名男生；第二類：2名女生，1名男生；第三類：3名都是女生.

所以正面考慮的話，就是C14×C26×A33+C24×C16×A33+A34=600(種)排法.現在我們考慮反面：3名都是男生的排法有A36=120(種)，所以有A310-120=600(種).

二、幾種方法

1碧卣鞣治齜

例4由1，2，3，4，5，6這6個數字可以組成多少個無重復數字且是6的倍數的五位數？

分析一個數是6的倍數，與一個數是2的倍數且是3的倍數是等價的，而其中為3的倍數的數必須滿足“各個數位上的數字之和是3的倍數”，因此，滿足題意要求的五位數應有以下幾類可能：

第一類：1，2，4，5，6做數碼，有72種；第二類：1，2，3，4，5做數碼，有48種.

那么根據分類加法計數原理，符合題意的五位數就有72+48=120(種).

注所謂“特征分析法”，就是以事物的特征（本質屬性）為突破口，尋找解題思路的方法，當問題比較復雜的時候，還要注意分類和分步.

2痹素、位置分析法

元素及其所占的位置，這是排列問題中的兩個基本要素，以元素為主，分析各種可能性，稱為“元素分析法”；以位置為主，分析各種可能性，稱為“位置分析法”.

例53封不同的信，有4個信箱可供投遞，共有多少種投遞方法？

解法一元素分析法（以信為主）.

第一步：投第一封信，有4種.

第二步：投第二封信，有4種.

第三步：投第三封信，有4種.

所以共有64種.

解法二位置分析法（以信箱為主）.

第一類：四個信箱中某一個信箱有3封信的有4種.

第二類：四個信箱中某一個信箱有1封信，一個信箱有2封信，有C13×C22×A24=36(種).

第三類：四個信箱中某三個信箱各有1封信的收信方法有24種.

因此收信方法共有4+36+24=64(種).

注不少排列組合的問題中，某個元素或某個位置有特殊的作用，這個特殊元素或特殊位置是解題的關鍵，抓住關鍵進行展開，問題往往就會迎刃而解，如此例中的“數學課”或“體育課”便是特殊元素.

3倍分法

例6從0，1，2，3，4，5這6個數字中取出5個組成多少個無重復數字的五位數？

分析該題我們可以按照取出的5個數字來分為有0和無0兩類.

“取與不取”“含與不含”“在與不在”等等，在解排列組合的應用題中，常可化難為易，將一個事件劃分為幾個互相對立的事件，這便是形式邏輯中的“二分法”.

三、幾種技巧

1被格子，坐位置

這是排列組合問題中一個最基本、最重要的模型，大量的問題都可以用這個模型取套解.

例7從A，B，C，D，E五名同學中選三名，到甲、乙、丙三個位置中的一處，有多少種方法？

分析我們把甲、乙、丙看做三個位置，于是問題就轉化為五名同學選三個位子坐下的問題.

2畢茸楹笈

有不少問題需要分為“先組合，再排列”兩步完成，如例3第二類.

3畢群蝦蠓幀—捆綁法

有一類問題要求某些元素必須排在一起，在解題時，我們可將這些元素先合一，即視為一個單元，與其他元素進行排列，然后再對一個這樣的排列考慮單元內各元素的不同排列.

4畢擾藕蟛濉—插空法

某些元素不相鄰排列時，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空當，這種方法稱為“插空法”.