一個支點撬起地球,一個超越不等式在解導數壓軸題中的應用

孫長卿

近年高考或模擬考試的導數大題中，出現了一個身影，即超越不等式：

ex>x+1(x≠0).（1）

用導數工具易證此不等式如下：

證明令h(x)=ex-x-1(x≠0)，求導得h′(x)=ex-1，令h′(x)=0，得x=0.

易知當x>0時，h′(x)>0，∴在區間(0，+∞)上，h(x)是單調增函數，∴h(x)>h(0)=0，也就是ex-x-1>0，即ex>x+1.同理可證：當x<0時，ex>x+1.

綜上所述，對x≠0，ex>x+1成立.

總結這類超越不等式證明的程序是：

構造函數——求導——定號定區間——判定單調性——下結論（①③稷冢.

說明其中“下結論”要依據函數單調性的定義，我們知道增減函數的定義是：①設任意x1，x2∈D罥且x1f(x2)）.③則f(x)在區間D上為增函數(減函數).據此可以得出三個命題是：

命題一：①②稷.

命題二：①③稷.

命題三：②③稷.

還可得到如下變式：e-x>1-x(x≠0).（2）

對（1）式兩邊取自然對數，得x>ln(x+1)(x>0).（3）

對（3）式用x-1換x，得x-1＞lnx(x＞0且x≠1).（4）

我們不難得出以上不等式中等號成立的條件.顯然熟練掌握應用這些不等式對我們順利解決有關導數大題（常為壓軸題）會起到事半功倍的效果.如：

例1（2010年新課標全國卷理數22題）設函數f(x)=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f(x)的單調區間；

（2）若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍.

【參考文獻】

［1］2010普通高等學校招生全國統一考試·理科數學［J］.學子，2010，7/8.

［2］2011普通高等學校招生全國統一考試·理科數學［J］.學子，2011，7/8.