多變并舉科學(xué)增效

王瑩

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，題目千變?nèi)f化，如果能在一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用好“變式教學(xué)”，不僅可以使學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握教學(xué)方法、感悟數(shù)學(xué)思想，又可以讓學(xué)生走出題海，提高學(xué)習(xí)效率.本文以“求y=x+4x的值域”為例，從變范圍、變形式、變參數(shù)三個(gè)方面探討如何變式.

一、變范圍

將變量的范圍改變后，函數(shù)的定義域發(fā)生改變，函數(shù)的性質(zhì)也隨之改變，解題的方法也隨之發(fā)生改變.

變1求y=x+4x(x≥4)的值域.

分析x≥4不包含基本不等式等號(hào)成立的條件，故應(yīng)使用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性.

當(dāng)x=4時(shí)，ymin=4+44=5.

有些題目雖然沒(méi)有明確給定范圍，但要注意隱含條件的挖掘.

變2求y=x2+4x2的值域.

分析令t=x2，此時(shí)t>0，y=t+4t≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取“=”.

又例如，y=x2+5+4x2+5，y=sin2x+4sin2x等都要注意變量隱含的范圍，再?zèng)Q定是利用基本不等式還是對(duì)勾函數(shù)求值域.

二、變形式

變形式可以是改變次數(shù)、改變分子分母，也可以是添加絕對(duì)值，等等，當(dāng)形式發(fā)生改變后，函數(shù)的性質(zhì)可能也隨之改變，要緊緊抓住題目的結(jié)構(gòu)特征.

變3求y=x+4x+2，x∈(-2，-∞)的值域.

分析當(dāng)題目結(jié)構(gòu)發(fā)生改變后，要注意“抓結(jié)構(gòu)，湊定值”，將此函數(shù)變?yōu)閥=x+2+4x+2-2，湊成“積定”后，再利用基本不等式.

y=x+2+4x+2-2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=”.

變4求下列函數(shù)的值域：（1）y=x2+4x；（2）y=xx2+4.

分析（1）此函數(shù)可化為y=x+4x，值域?yàn)?-∞，-4］∪［4，+∞).

（2）此函數(shù)分母次數(shù)大于分子次數(shù).當(dāng)x≠0時(shí)對(duì)該函數(shù)取倒數(shù)，先求出1y的范圍，1y∈(-∞，-4］∪［4，+∞)，再求出y的范圍；當(dāng)x=0時(shí)，y=0.故函數(shù)值域?yàn)?14，14.

三、變參數(shù)

將其中的一些數(shù)變成字母參數(shù)后，隨著字母取值的變化，由定到動(dòng)，常常要對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論.

變5求y=x+ax(x≥1)的值域.

分析（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=x(x≥1)的值域?yàn)椋?，+∞).

（2）當(dāng)a<0時(shí)，y=x+ax在［1，+∞)遞增，故值域?yàn)椋?+a，+∞).

（3）當(dāng)a>0時(shí)，①當(dāng)0

②當(dāng)a≥1時(shí)，y≥2a，當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)取“=”.

綜上所述，當(dāng)a<1時(shí)，值域?yàn)椋?+a，+∞)；當(dāng)a≥1時(shí)，值域?yàn)椋?a，+∞).

當(dāng)然，變式除以上幾種方式外，還有變結(jié)論、增加題設(shè)條件等.只要我們?cè)谡n堂教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次、全方位地去思考問(wèn)題，保證學(xué)生良好的解題習(xí)慣，就能使學(xué)生真正達(dá)到“減負(fù)擔(dān)，增效率”的目的，使學(xué)生在解題過(guò)程中游刃有余，事半功倍.