適當訓練“一題多解”,提高高三數學復習實效

陳家國

怎樣通過解題活動來培養學生良好的思維能力，是數學教學的中心問題.在高三數學復習過程中，教師思想認識上存在著一種錯誤認識，好像讓學生見的題型多，練的題目多，學生數學就掌握得好.所以常常以精講多練來訓練學生，存在著過多過密的盲目解題.其結果是學生思維的靈活性逐漸降低，對外在事物的敏感度逐漸淡化，捕捉問題的能力逐漸下降，對于一些新題、變式題感覺到無從下手.只有“聞一以知十”解題，才能激發學生濃厚的學習興趣，促進他們思維品質的發展.而正確引導學生進行一題多解則是激發學生學習興趣，開拓思路，培養學生思維品質和應變能力的一種有效方法.

一、“一題多解”能鞏固知識，提高實效

對于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會得到不同的啟示，從而引出不同的解法.在復習過程中，教師要充分發揮例題的教學功能，不失時機地通過引導學生進行“一題多解”的訓練，盡量從多方面多角度去思考問題，達到以少勝多的目的.筆者在復習三角函數時，選取了如下問題，給學生討論.

例1已知等腰三角形ABC一腰上的中線長為3，求△ABC面積的最大值.

學生經過分析，得到了如下幾種情況的解答：

分析一如圖，由條件可知AB=AC，BD=3，

設腰長為2a，則AD=DC=a，在△ABD中，

由余弦定理得：3=4a2+a2-4a2cosA(*)，

∴a2=35-4cosA.

消去a，得S△ABC=12×2a×2a×sinA=6sinA5-4cosA.

接下來通過導數判斷函數的單調性，從而得到三角形面積的最大值.

分析二在分析一當中，部分學生是將(*)式變成cosA=5a2-34a2.再由平方關系，得sinA=-9a4+30a2-94a2，∴S△ABC=12·2a·2a·sinA=12-9a4+30a2-9.

這樣，根式里面可以認為是以a2為變量的二次函數，利用二次函數的特點求解面積的最大值.

分析三作三角形的高AD，設腰長為2a，則AD=2asinC，

BC=2×2acosC=4acosC.

在△BCD中，由余弦定理，

得3=a2+16a2cos2C-2·a·4acosC·cosC，

即a2=38cos2C+1.

∴S△ABC=12·4acosC·2asinC=12sinCcosC8cos2C+1.

∴S△ABC=12sinCcosCsin2C+9cos2C=12tanCtan2C+9=12tanC+9tanC≤2，

當且僅當tanC=3時面積取得最大值2.

分析四如圖，建立直角坐標系，設點A(0，h)，B(-a，0)，C(a，0)，則Da2，h2.

由BD=3得：94a2+h24=3，∴9a2+h2=12，

由基本不等式得：ah≤2.∴S△ABC=12·h·2a≤2，當且僅當h=3a時面積取得最大值.

通過本例的探究，既促使學生鞏固了所學基礎知識（如基本不等式、二次函數、正余弦定理等）的應用，又溝通了知識點間的聯系，使得學生頭腦中的知識網絡更加豐滿；通過對解題過程的反思，學生學會多視角、多方法去思考問題和發現問題，進一步感受了“轉化策略、數形結合、函數與方程”等基本的數學思想在解題過程中的作用，既培養了學生的思維能力，又提高了復習實效.

二、“一題多解”能提高興趣，突破難點

高三數學復習解題量很大，每天復習的知識點必須通過適當的題目來鞏固.在復習過程中，教師要善于把枯燥的解題活動組織得生動活潑，就必須堅持“學生為主體，教師為主導”的教學原則，切不可讓復習課成為展示自己解題“絕活”的表演秀.每一模塊復習結束時，教師不妨展示一兩道有價值的數學題，師生共同探究，讓學生在積極主動的探索活動中提高能力，展示才華.

如在向量復習結束時，筆者給學生展示了如下問題：

例2給定兩個長度為1的向量OA，OB，它們的夾角為120°，如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧AB上變動，若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，求x+y的最大值.

學生甲經過思考，認為由于題目條件中知道了OA，OB，OC的模，并且OA，OB的夾角也是已知，因此兩邊平方就可以將向量問題轉化為代數問題，從而得到了下面的第一種解法：

解法1（不等式法）∵OC=xOA+yOB，由已知得x≥0，y≥0，

從而OC2=x2OA+2xyOA·OB+y2OB2.

又|OA|=|OB|=|OC|=1，∠AOB=120°，故OA·OB=-12，

∴1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2.

∴x+y≤2，當且僅當x=y=1時取等號.

學生乙認為本例圖形比較特殊，聯想到向量的坐標運算，從而得到了如下解法：

解法2（坐標法）以OA所在直線為x軸，O為坐標原點，建立直角坐標系.則OA=(1，0)，OB=-12，32，設OC=(cosα，sinα)，(0°≤α≤120°)，

∴OC=(cosα，sinα)=x(1，0)+y-12，32，

∴x-12y=cosα，32y=sinα，

則x=cosα+13sinα，y=23sinα.

故x+y=2cos(α-60°)≤2，(0°≤α≤120°).

學生參與解題的積極性被調動以后，不斷提出一些新的設想，通過嘗試，又得到了如下解法：

解法3（三角法）作CD∥OB交OA于D，設∠AOC=α，(0°≤α≤120°，

∠ODC=60°，∠OCD=120°-α.在△ABC中，CDsinα=ODsin(120°-α)=23，故y=CD=23sinα，x=OD=23sin(120°-α)，∴x+y=cosα+33sinα=cosα+3sinα=2sinα+π6≤2.

解法4（向量的數量積）設∠AOC=α.

由OA·OC=xOA2+yOA·OB，

OB·OC=xOA·OB+yOB2

得cosα=x-12y，

cos(120°-α)=-12x+y.

∴x+y=2［(cosα+cos(120°-α)］=2sinα+π6≤2.

解法5（幾何法）連接AB交OC于D，設OC=mOD，

則mOD=xOA+yOB，∴OD=xmOA+ymOB.

∵A，B，D共線，則xm+ym=1，

∴x+y=m.

而|OC|=1，∴|OD|=1m.

要使x+y最大，則|OD|最短，即OD⊥AB，此時|OD|=12，m=2.∴x+y取最大值2.

通過教師的啟發引導、學生之間的相互補充，本題得到了多種解法.在探究過程中，整個課堂充滿靈感，充滿激情.學生根據題設中的具體情況，及時提出新的設想和解題方案，不固執己見，不拘泥于陳舊的方案.既能讓學生充分挖掘自身的潛能，感受成功的喜悅和增強自信心，激發了學生學習數學的積極性和濃厚的興趣，也養成了良好的思維習慣，達到了優化解題的效果.

三、“一題多解”能提煉通法，拓展思維

高三復習過程中，要想提高復習效果，做到“輕負擔、高質量”，教師就該研究復習方法，注意題型的一般解題方法的指導，即“通法”的指導.學生學會問題的“通法”，就能用一種方法解決一類問題.而“通法”提煉，往往可以通過一題多解來歸納.

比如說，反思例題1的求解過程，我們發現，盡管四種解法在求最值時，使用的工具不一，但是學生在入手時，都是抓住三角形中的邊角關系來構建模型.這主要是因為三角形中的基本量就是三角形中的邊和角.因此，我們總結出解決這一類問題的通法是：選定三角形中的某個角或邊長為變量，通過三角形中的邊角關系，把其他未知的量用所設變量來表示，從而進一步構建合適的函數模型，最后再選用恰當的方法來求解.如果是特殊的圖形，有時候可以建立坐標系，用解析法來求解.同樣，例題2的幾種解法給我們的啟示是，向量問題實數化是解決向量問題的基本思路，處理方式主要有利用向量數量積的運算或者通過坐標運算，轉化為代數問題求解，當然在涉及兩個變量的問題的時候，通常要進行消元轉化為一個變量來處理.

高三數學復習不是在同一個水平上的簡單重復，需要創造性地將知識、能力和思想方法在更多的新情境、更高的層次中不斷地反復滲透，才能達到螺旋式的再認識、再深化乃至升華的結果.因此，在復習過程中教師適當地選擇一些例題，通過一題多解，既讓學生鞏固了所學知識，又增加了學生解題的靈活性，培養和提高了學生的思維能力.