例說三角函數(shù)幾種常用的解題技巧

王晚英

【摘要】“三角函數(shù)”是中專數(shù)學的重要組成部分，同時它又是學習高等數(shù)學的基礎知識.而掌握三角函數(shù)的解題技巧能增強學習三角函數(shù)知識的信心，本文通過舉例說明三角函數(shù)的一些解題技巧.

【關鍵詞】三角函數(shù)；解題；技巧

“三角函數(shù)”是中專數(shù)學的重要組成部分，它應用于很多理工專業(yè)如模具設計、機電、數(shù)控等專業(yè)的教學中，同時它又是學習高等數(shù)學的基礎知識.因此學好“三角函數(shù)”是中專數(shù)學最重要的一環(huán)，而提高三角函數(shù)題型的解題能力能增強學好三角函數(shù)知識的信心，本文根據(jù)多年的教學實踐就三角函數(shù)幾種常用的解題技巧例說如下：

一、切割化弦

是將題中出現(xiàn)的正切、余切函數(shù)，正割、余割函數(shù)均化為正弦、余弦函數(shù).

例1化簡sin50°(1+3tan10°).

分析題目中含有正弦、正切，采用“切化弦”，變?yōu)閮H含有正弦、余弦的三角式，然后采用引入輔助角的方法，利用兩角和公式、倍角公式等變化手段將問題化簡到底.

二、化弦為切

應用萬能公式或將題目進行適當變形把題中所給的正弦、余弦函數(shù)化為正切、余切函數(shù)，這樣就可以把問題轉化為以tan為變量的“一元有理函數(shù)”，實現(xiàn)三角問題向代數(shù)問題轉化.

例3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

分析由已知條件可知cosα不可能為0，所以分子分母可同時除以cosα，把弦轉化成切，進而把tanα的值代入式中，即可求得答案.

解原式4sinα0-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

例4已知2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5，求3cos2θ+4sin2θ的值.

分析將已知條件中正弦、余弦三角函數(shù)化為正切函數(shù)，從而解出tanθ，然后運用三角函數(shù)萬能公式將所求的三角函數(shù)式用tan表示，即可解題.

解∵2sinθ+cosθsinθ-3cosθ=-5，∴cosθ≠0（否則2=-5）.

∴2tanθ+1tanθ-3=-5，解得tanθ=2.

∴原式=3(1-tan1θ)1+tan2θ+4×2tanθ1+tan2θ=75.

三、角的轉化

將題中的倍角、半角和（差）角化為單角，或者確定某一種角作為基本量，將其它形式的角轉化為這種形式的角，這有利于解題.

例5求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.

分析根據(jù)三角函數(shù)結構及角度特點，可利用積化和差公式，這樣會出現(xiàn)特殊角的函數(shù)值，還可以出現(xiàn)正負相消的項，從而達到求值目的.

解原式=12［sin(70°+20°)-sin(70°-20°)］-

四、升冪降冪

公式2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α，sin2α+cos2α=1等逆順運用可使三角函數(shù)式進行升降次，從而達到化簡、證明、求值的目的.

例6化簡1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

分析化簡就是使表達式經(jīng)過某種變形，使結果盡可能簡單，項數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，分母中盡可能不含三角函數(shù)符號，能求值一定求值.