一葉知秋話解題

楊丹陽

的本質，學生才能真正學好數學，用好數學，本文主要從四個方面闡述.

【關鍵詞】細節能培養學生優良的學習習慣；細節能培養學生的探索能力；細節能積累成一種能力；細節決定成敗

1967年8月23日，蘇聯的宇航員科馬洛夫殉難，原因是地面檢查時忽略了一個小數點而導致聯盟一號宇宙飛船在返回大氣層時，減速降落傘無法打開.這個事故告訴我們這樣一個道理：對待人生不能有絲毫的馬虎，否則，即使是一個細枝末節，也會讓你付出沉重的甚至是永遠無法彌補的代價.數學學習也是一樣，在每一個細節上做足工夫，把握好數學中的每一個“細節”，找出問題的本質，學生才能真正學好用好數學.下面談談筆者的一些體會.

1畢附諛芘嘌學生優良的學習習慣

惠普創始人戴維·帕卡德曾說過“小事成就大事，細節成就完美”.細節，往往被人忽略，但恰恰最能反映一個人的真實水平.讓學生重視數學學習的每一個細節，有利于學生培養優良的學習品質及嚴謹的數學邏輯思維能力，深化分類討論的數學思想.

作為教師，糾正學生解題錯誤固然非常重要，但更重要的是通過教學中的一些細節，找出錯誤的原因，使學生遇事能認真分析，養成能認真思考每一個環節的習慣，提高學生的數學邏輯思維能力，培養學生良好的學習品質.

2畢附諛芘嘌學生的探索能力

海爾集團總裁曾說過“探索存在于每一個細節之中”.數學學習也一樣，可以抓住數學問題的某些細節，發揮學生學習的主動性，讓學生去思考、去探索、去發現有價值的東西，有助于提高學生的自主探索創新能力.

病例3已知拋物線C：y2=4x與一條過點A(0，1)的直線l，當直線l與拋物線C有且只有一個公共點時，求直線l的方程.

癥狀由題意設直線l的方程為y=kx+1.

由方程組y2=4x，

y=kx+1，可得ky2-4y+4=0.（*）

∴Δ=16-16k=0，∴k=1，∴直線l的方程為y=x+1.

分析如圖可直觀看出y軸與拋物線相切只有一個公共點，此時斜率不存在，故要討論直線l的斜率是否存在.考慮Δ時，（*）是二次方程，故對二次項的系數也要進行討論.

處方（1）當斜率不存在時，直線l：x=0符合題意.

（2）當斜率不存在時，

①當k=0時，直線l：y=1與拋物線C只有一個公共點14，1；

②當k≠0時，Δ=0，∴k=1，∴直線l：y=x+1.

綜上所述，直線l的方程為x=0或y=1或y=x+1.

探索①A(0，1)改為A(1，2)，問：此時與拋物線C只有一個公共點的直線l有幾條？

②A(0，1)改為A(1，0)，問：此時與拋物線C只有一個公共點的直線l有幾條？

分析過定點A與拋物線C只有一個公共點的直線l的條數跟定點A與拋物線的位置有關.

結論①若定點A在拋物線開口方向外，則這樣的直線l有3條（兩條切線和一條割線）；

②若定點A在拋物線開口方向內，則這樣的直線l有1條（一條割線）；

③若定點A在拋物線上，則這樣的直線l有2條（一條切線和一條割線）.

3畢附諛芑累成一種能力

海不擇細流，故能成其大，山不拒細壤，方能就其高.數學學習也是一樣，只要平時注意并能認真解決好數學中的每個細節，解題能力就會逐步增強，這就是細節的魅力.

病例4求函數y=1x-ln(x+1)的單調減區間.

癥狀由y′=-1x2-1x+1=-x2+x+1x2(x+1)<0.

又∵x2+x+1>0，x2>0，

∴x+1>0，∴單調減區間為(-1，+∞).

處方函數的單調性首先應在函數的定義域內研究，

故x≠0，

x+1>0，

y′<0.∴單調減區間為(-1，0)，(0，+∞).

病例5求函數f(x)=x2+5x2+4的最小值.

癥狀f(x)=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2.（*）

∴f(x)的最小值為2.

分析利用基本不等式a+b2≥ab(a>0，b>0)求最值需滿足“一正二定三等”，缺一不可，而（*）中當x2+4=1x2+4時取“=”，此時x∈.

處方令t=x2+4，則t≥2.

而f(x)=t+1t在t∈［2，+∞)上為增函數，∴當t=2即x=0時，f(x)的最小值為52.

這兩個癥狀中的細節都是圍繞函數的性質應考慮函數定義域的影響，我們把這些細節認真加以研究、總結、開發和利用，不但可以提高學生的數學成績，也能提高學生的學習能力.

病例6已知雙曲線方程2x2-y2=2，過點B(1，1)能否作直線l與所給雙曲線交于Q1，Q2兩點，且點B是弦Q1Q2的中點？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

癥狀設Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，

則2x21-y21=2，2x22-y2=2.

兩式相減，得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，

2·x1+x22-y1+y22·y1-y2x1-x2=0，即2×12-12×y1-y2x1-x2=0.

∴y1-y2x1-x2=2，

∴直線Q1Q2的方程為y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.

分析要使B點是弦Q1Q2的中點，首先直線l與雙曲線有兩個不同的交點Q1，Q2，

故方程組2x-y-1=0，

2x2-y2=2應有兩組解，而消去y，得

2x2-4x+3=0.

此時Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，無實根.

因此直線l與雙曲線無交點，這一矛盾說明了滿足條件的直線l不存在.

4畢附誥齠ǔ砂

1%的錯誤會帶來100%的失敗.原因很簡單，數學填空題的結果只有對與不對，一個細節沒有考慮周到，就是全錯，所以只有一絲不茍、仔細審題的學生可以做出正確答案，注重“細節”是學生取得好成績的一個關鍵.

病例7若向量a=(λ，2)，b=(-3，5)，且a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍為.

癥狀∵a·b=|a||b|cos〈a，b〉，〈a，b〉是銳角，

∴a·b>0，

∴a·b=-3λ+10>0，∴λ<103.

處方∵〈a，b〉是銳角，∴cos〈a，b〉＞0且cos(a，b)≠1.

當cos〈a，b〉=1時，a與b同向，此時5a+6=0，則λ≠-65.

∴λ的取值范圍是λ<103且λ≠-65.

往往學生的水平在知識能力等方面差距不是很大，要想在高考或其他考試中獲勝，實際上還是那百分之幾的細節，所以說“細節決定成敗”，可能一兩天覺察不到細節的“魅力”，但經過一個月、一個季度、一年，細節的重要性就會充分顯現.所以，作為一名數學教師，必須重視每一節課的細節，每一次作業的細節，讓學生掌握好數學中的每一個細節，長此以往，既能培養學生優良的學習習慣，又能培養學生的探索能力，學生不但能夠很好地掌握知識，提高數學成績，而且綜合能力與素質都能進一步提高.