淺談中學條件概率教學

邵秀芹

【摘要】條件概率問題，一直是高中數學教學中的難點和熱點問題，如何合理把握難度，搞好條件概率的教學一直是教育工作者探討的問題.本文通過自身教學體會，介紹了高中數學教學中條件概率的教學心得.

【關鍵詞】條件概率；概念；安全；小結

在中學學習過程中，條件概率是公認的一個難點問題，如何讓學生明白條件概率，學會計算條件概率，是中學數學教學中一直在探討的問題，很多優秀教育工作者都已經對此提出了自己的看法，本文通過具體案例詳細地介紹了高中數學教學中條件概率的學習.

一、課堂引入

例1一個班級中有男生30人，女生20人，其中15人是團員，在這個班級中任選一名學生.

（1）這名學生是團員的概率是多少？

（2）若已知這名學生是男生，這名學生是團員的概率是多少？

分析問題（1）是一個典型的古典概型問題，學生很容易就能回答出來，進一步，在（2）中，樣本空間改變了，樣本空間不再是全體學生組成的集合，因為知道選的這名學生是男生，那么樣本空間應該是男生組成的集合，基本事件的個數變成了30個，但這仍然是一個古典概型問題，只不過樣本空間縮小了而已.

解設Ω表示“全體學生”，A表示“學生是團員”，B表示“已知學生是男生，這名學生是團員”，則

（1）P(A)=A包含的基本事件的個數基本事件的總數=1550=310.

（2）P(B)=1530=12.

上述（2）中遇到的情況，現實生活中經常遇到，這就是下面我們要學習的條件概率問題.

二、條件概率的概念

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件A發生的條件下，求事件B發生的條件概率，記作P（B|A）.

定義設A，B是兩個事件，且P（A）>0，則稱

P(B|A)=P(AB)P(A).(1)

為在事件A發生的條件下，事件B的條件概率.相應地，把P（B）稱為無條件概率.一般地，P(B|A)≠P(B).

注用維恩圖表達(1)式.若事件A已發生，則為使B也發生，試驗結果必須是既在A中又在B中的樣本點，即此點必屬于AB.因已知A已發生，故A成為計算條件概率P（B|A）的新的樣本空間.

例2某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥號.

（1）他接通電話的概率？

（2）求他已知最后一個數字是奇數時接通電話的概率.

分析（1）中基本事件總數是10，而（2）中基本事件總數應該是5，樣本空間縮小了，但仍然可以使用古典概型思想，也就是在縮小的樣本空間中計算古典概率，所以應該是15.

解設Ω表示“接通電話”，A表示“隨意地撥號，接通電話”，B表示“已知最后一個數字是奇數時接通電話”，則

（1）P(A)=A包含的基本事件數基本事件總數=110.

（2）P(B)=B包含的基本事件數基本事件總數=15.

例3盒子中有10個球，6白4紅，無放回地每次抽取一球，記A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到白球”，求P（B|A）.

解由條件概率的計算公式，得

P(B|A)=P(AB)P(A)=6×510×9610=59.

三、課堂小結

通過上述例題，我們可以發現計算條件概率有以下兩種方法：

（1）在縮減的樣本空間A中求事件B的概率，就得到P(B|A).

（2）在樣本空間Ω中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定義計算P(B|A).

通過上面的討論，我們可以看出，條件概率只是一種特殊的概率，是在縮小的樣本空間中計算的概率，只要我們找準樣本空間，找準具體事件，計算條件概率其實并不是一件很困難的事情.

【參考文獻】

［1］盛驟，謝式千.概率論與數理統計.北京：高等教育出版社，2008.

［2］孟晗.概率論與數理統計.濟南：同濟大學出版社，2011.