新課標下高中數學三角函數線概念教學的探索

黃瑞

數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式.章建躍博士曾經在南京師大附中演講時說：“概念教學的核心是概括，是將凝結在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的例子為載體，引導學生展開觀察、分析各事物的屬性，抽象概括共同的本質屬性，歸納得出數學概念.”現今新課程標準的核心理念強調為學生提供更為開闊的思維空間和發展空間，這就需要我們在教學中給予學生適度的思考時間和表現自己思維內容與思維過程的機會.在新課程實施過程中如何把握數學的概念教學，提高教學的有效性是我們每個教師都無法回避的課題.

三角函數主要內容是任意角與弧度制、三角函數定義與單位圓、三角函數圖像及性質、正弦型函數及性質，等等.分析三角函數及其相關概念構成的網絡體系中可知三角函數線有著重要的意義，然而教學過程中老師們感到三角函數線這一內容比較難處理.其實掌握好三角函數線的知識，可以更好地理解三角函數的知識，進一步提升學生對“函數”這一高中數學核心概念的理解與把握.

一、巧設教學情境，帶出問題本質，導入三角函數線概念

借助數學史將三角函數線的概念引入，可使學生了解知識發生發展的背景和過程，引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程.合理設置情境，使學生感受到學習的樂趣，這樣也能使學生加深對概念的記憶和理解.

1蓖ü數學史引入三角函數線概念

早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的，因為當時人們需要穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林，或經水路沿著海岸線做冒險的長途航行，首先要明確方向.18世紀前，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，被認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段，即三角學是以幾何的面貌表現出來的，這是三角學的古典面貌.1748年，尤拉在著名的《無窮小分析引論》一書中指出：“三角函數是一種函數線與圓半徑的比值.”即任意一個角的三角函數都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP，OM，MP(即函數線)相互之間所取的比值，sinα=MPOP，cosα=OMOP，tanα=MPOM等.若令半徑為單位長，那么所有的六個三角函數又可大為簡化.尤拉的這個定義是極其科學的，它使三角學從靜態的只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學成為一門具有現代特征的分析性學科.

2閉遷移引入三角函數線概念

同學們對于初中階段在直角三角形中如何定義銳角三角形的正弦、余弦、正切值，記憶猶新，依據教育心理學正遷移對于學習的作用，不妨在直角坐標系中，利用單位圓先將特殊的銳角如π6，π4，π3的三角函數線畫出，然后由特殊過渡到一般，從而得出任意角的三角函數線，這樣同學們感到三角函數線有似曾相識的感覺，學習過程中體驗如何將三角函數的“數”與“形”自然地結合在一起，達到“數”與“形”的完美結合，形成對數學美的感悟.

二、抓住三角函數線本質屬性，有技巧地層層引導

1幣入單位圓，構建三角函數線的舞臺

對教師而言，由比值yr到y，xr到x，再到正弦線、余弦線的兩步跨越，看似簡單，同學們卻是比較難以想到，在此處盡可能清晰再現知識的建構過程，使同學們明確原則，把握概念的形成.從數學思想層面上可以突出三角函數“簡約”為“一個變量”的思想方法，進而順利實現用“三角函數線”這一直觀的圖形工具來“統一”表達三角函數這一主線，在教學過程中反復強調“最簡化”“統一”的要求，而這樣的理念或思想，不僅能體現本節數學方法的特點，同時也在數學教學的過程中占據重要的地位，具有普適性.

2庇燒弦線與余弦線引導向正切線

同學們較容易理解與掌握正弦線與余弦線，是因為有直觀感受，但是理解與掌握正切線有一定的難度，而突破這一難點的關鍵在于幫助學生充分理解“有向線段的數量”及相關概念.那么在講一些諸如“有向線段”“有向線段的數量”等等比較數學化的很難表述的概念時，可以將同學們的注意力主要集中到關注“圖形”與“數量”的對應關系上來，自然而然地突出了探究與確定“正、余弦函數線”的形成過程與基本方法，弗賴登塔爾指出，學生不是被動地接受知識，而是再創造，在這個階段，如果可以給學生提供更為開闊一些的空間，那么到研究“正切函數線”時，學生就可以自覺或不自覺地用探究“正、余弦函數線”的方法解決新的問題.

新課標對三角函數線的要求是掌握，即對所列知識內容有較深刻的理性認識，形成技能，并能利用所列知識解決有關問題.三角函數線在研究三角函數圖像及其性質，求解三角方程、三角不等式，證明三角恒等式、不等式，以及數形結合思想的形成方面都有重要的作用，還可以從“數”和“形”兩個不同的角度研究三角函數的表示，作為工具探討三角函數的基本性質，是三角函數這一章中非常精彩的內容.三角函數線的講解的確有難度，但是教學過程中教師們通過充分地鋪墊，同學們對三角函數線的掌握完全可以實現水到渠成.